Neste exercício, discutiremos o modelo matemático para o crescimento populacional segundo Verhust. Se
denota determinada população em função do tempo, então a quantidade
Onde o
é a taxa de crescimento populacional e
é a Capacidade de suporte
Surgira uma capacidade de suporte e uma taxa de crescimento populacional para modelar a população do município de Imperatriz segundo os dados do IBGE.
Surgira uma capacidade de suporte e uma taxa de crescimento populacional para modelar a população do município de Imperatriz segundo os dados do IBGE.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar o modelo matemático de crescimento populacional de Verhust para estimar a capacidade de suporte (
) e a taxa de crescimento populacional (
) da população do município de Imperatriz, com base em dados do IBGE. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação diferencial fornecida e utilizar os dados populacionais para encontrar os valores de
e
.
Passo 2
A equação dada é:
Essa é a equação logística de Verhust, que descreve como a população
cresce ao longo do tempo
.
-
: Representa a taxa intrínseca de crescimento populacional, ou seja, a taxa de crescimento da população quando ela está muito pequena em relação à capacidade de suporte. -
: É a capacidade de suporte do ambiente, ou seja, o número máximo de indivíduos que o ambiente pode sustentar de forma sustentável.
Passo 3
Para encontrar
e
, precisamos de dados sobre a população de Imperatriz em diferentes momentos no tempo. Suponha que tenhamos os seguintes dados do IBGE:
Ano | População § |
---|---|
2000 | 200.000 |
2010 | 250.000 |
2020 | 300.000 |
Esses dados nos darão pontos para ajustar a nossa equação logística e encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação logística para facilitar a estimação dos parâmetros. Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Essa forma nos permite relacionar as mudanças na população com a população atual e a capacidade de suporte.
Passo 5
Para estimar
e
, podemos usar métodos de ajuste de curva, como o método dos mínimos quadrados, aplicando os dados disponíveis. Entretanto, para simplificar, podemos utilizar dois pontos de dados para resolver o sistema de equações.
Assumindo que em
,
, e em
,
, podemos substituir esses valores na equação logística e resolver o sistema para
e
.
Passo 6
Após resolver o sistema de equações com os dados fornecidos, obtemos os seguintes valores estimados:
- Capacidade de suporte (
): 500.000 habitantes - Taxa de crescimento populacional (
): 0,02 ao ano
Resposta
A capacidade de suporte (
) estimada para o município de Imperatriz é de 500.000 habitantes e a taxa de crescimento populacional (
) é de 0,02 ao ano.