Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty 3^n n^2n!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar como se comporta a série sumn=1^+infty 3^n n^2n!. Isso está dentro do assunto de séries numéricas e seus comportamentos, especialmente focando em saber se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de análise.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge, calculando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A ideia é ver se, conforme n cresce, os termos vão diminuindo rapidamente o suficiente para que a série some a um valor finito.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão na nossa série sumn=1^+infty 3^n n^2n!, vamos calcular o limite de:
L = limn to infty | an+1an |
onde an = 3^n n^2n!.

Passo 4

Vamos calcular an+1:
an+1 = 3^n+1 (n+1)^2(n+1)! = 3 cdot 3^n (n+1)^2(n+1) cdot n! = 3 cdot 3^n (n+1)n!
Agora, o quociente an+1an fica:
an+1an = 3 cdot 3^n (n+1)n! cdot n!3^n n^2 = 3 (n+1)n^2 = 3(n+1)n^2

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite L:
L = limn to infty 3(n+1)n^2 = limn to infty 3n + 3n^2 = limn to infty (3n + 3n^2) = 0

Resposta

Como L = 0 < 1, segundo o Teste da Razão, a série sumn=1^+infty 3^n n^2n! converge.

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