Resolva a equação diferencial dada obtendo um fator integrante apropriado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas e vamos precisar encontrar um fator integrante para resolver. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator que a torne exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
da nossa equação:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Calculando as derivadas:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Agora, vamos procurar um fator integrante que depende apenas de
, ou seja,
, que multiplicando a equação original, a torne exata.
A fórmula para encontrar
é:
Substituindo os valores que já encontramos:
Mas percebemos que houve um erro aqui, na verdade, deveríamos reorganizar a fórmula para integrar em termos de
.
Na verdade, a fórmula correta para o fator integrante
é:
Vamos calcular agora:
Então,
Passo 5
Com o fator integrante
, multiplicamos toda a equação original por ele:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando com
:
Portanto,
, e
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: