Resolva a equação diferencial dada obtendo um fator integrante apropriado.
cos (x) d x+(1+1y) sen(x) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
cos(x) , dx + (1 + 1y) sin(x) , dy = 0
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas e vamos precisar encontrar um fator integrante para resolver. Precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator que a torne exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(x, y) e N(x, y) da nossa equação:
M(x, y) = cos(x)
N(x, y) = (1 + 1y) sin(x)
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y e partial Npartial x

Passo 3

Calculando as derivadas:
partial Mpartial y = partial cos(x)partial y = 0
partial Npartial x = partialpartial x [(1 + 1y) sin(x)] = (1 + 1y) cos(x)
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata.

Passo 4

Agora, vamos procurar um fator integrante que depende apenas de y , ou seja, mu(y) , que multiplicando a equação original, a torne exata.
A fórmula para encontrar mu(y) é:
mu(y) = exp(integral partial Mpartial y - partial Npartial xN , dy)
Substituindo os valores que já encontramos:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = 0 - (1 + 1y) cos(x)(1 + 1y) sin(x) = -cos(x)sin(x) = -cot(x)
Mas percebemos que houve um erro aqui, na verdade, deveríamos reorganizar a fórmula para integrar em termos de y .
Na verdade, a fórmula correta para o fator integrante mu(y) é:
mu(y) = exp(integral partial Npartial x - partial Mpartial yM , dy)
Vamos calcular agora:
partial Npartial x - partial Mpartial yM = (1 + 1y) cos(x) - 0cos(x) = 1 + 1y
Então,
mu(y) = exp(integral (1 + 1y) dy) = exp(y + ln|y|) = e^y cdot y

Passo 5

Com o fator integrante mu(y) = y e^y , multiplicamos toda a equação original por ele:
y e^y cos(x) , dx + y e^y (1 + 1y) sin(x) , dy = 0
Simplificando:
y e^y cos(x) , dx + e^y (y + 1) sin(x) , dy = 0
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = y e^y cos(x)
Integrando em relação a x :
F(x, y) = y e^y sin(x) + g(y)
Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y) :
partial Fpartial y = e^y sin(x) + y e^y sin(x) + g'(y) = e^y (1 + y) sin(x) + g'(y)
Comparando com N(x, y) :
e^y (1 + y) sin(x) + g'(y) = e^y (1 + y) sin(x)
Portanto, g'(y) = 0 , e g(y) é uma constante, que podemos chamar de C .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y e^y sin(x) = C

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