Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que analisar o comportamento da série
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries infinitas e um teste básico para verificar a convergência delas. Basicamente, precisamos descobrir se essa soma infinita vai chegar a um valor específico ou se vai continuar “pulando” sem se estabilizar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um teste bem simples para séries: o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série não converge.
Matematicamente, se
, então
diverge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. Aqui, cada termo da série é
.
Precisamos calcular:
Passo 4
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja,
. Além disso, o seno de
não se aproxima de nenhum valor específico quando
cresce sem limites; ele continua oscilar.
Portanto:
Passo 5
Como o limite dos termos
não existe e, especialmente, não é zero, concluímos pelo Teste da Divergência que a série
não converge.
Resposta
A série
diverge, pois os termos
não tendem a zero.