Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty sen(n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que analisar o comportamento da série sumn=1^+infty sin(n). O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries infinitas e um teste básico para verificar a convergência delas. Basicamente, precisamos descobrir se essa soma infinita vai chegar a um valor específico ou se vai continuar “pulando” sem se estabilizar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um teste bem simples para séries: o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série não converge.
Matematicamente, se limn to infty an neq 0, então sumn=1^+infty an diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. Aqui, cada termo da série é sin(n).
Precisamos calcular:
limn to infty sin(n)

Passo 4

Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, -1 <= sin(n) <= 1. Além disso, o seno de n não se aproxima de nenhum valor específico quando n cresce sem limites; ele continua oscilar.
Portanto:
limn to infty sin(n) não existe ã

Passo 5

Como o limite dos termos sin(n) não existe e, especialmente, não é zero, concluímos pelo Teste da Divergência que a série sumn=1^+infty sin(n) não converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty sin(n) diverge, pois os termos sin(n) não tendem a zero.

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