Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty 5^n3^n+4^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo:
sumn=1^+infty 5^n3^n+4^n
O conteúdo que vamos usar para resolver isso envolve séries infinitas e testes de convergência, especialmente o Teste da Comparação e o Teste da Razão. Vamos precisar entender como comparar essa série com outras mais simples para ver se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando n fica bem grande. Olha só, no denominador temos 3^n + 4^n . Como 4^n cresce mais rápido que 3^n , para valores grandes de n , 4^n vai dominar. Então, podemos aproximar o denominador por 4^n .
Então, a expressão fica aproximadamente:
5^n4^n = (54)^n

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teste da Série Geométrica. Uma série geométrica da forma sumn=1^+infty r^n converge se |r| < 1 e diverge se |r| >= 1 .
No nosso caso, a razão r é 54 , que é maior que 1. Então, a série geométrica correspondente sumn=1^+infty (54)^n diverge.

Passo 4

Como a nossa série original se comporta de maneira semelhante a uma série geométrica com razão maior que 1, podemos aplicar o Teste da Comparação. Isso significa que se a série comparada (no caso, a série geométrica) diverge, então a nossa série original também diverge.

Passo 5

Portanto, concluímos que a série:
sumn=1^+infty 5^n3^n+4^n
não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 5^n3^n+4^n diverge.

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