Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo:
O conteúdo que vamos usar para resolver isso envolve séries infinitas e testes de convergência, especialmente o Teste da Comparação e o Teste da Razão. Vamos precisar entender como comparar essa série com outras mais simples para ver se ela converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando
fica bem grande. Olha só, no denominador temos
. Como
cresce mais rápido que
, para valores grandes de
,
vai dominar. Então, podemos aproximar o denominador por
.
Então, a expressão fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teste da Série Geométrica. Uma série geométrica da forma
converge se
e diverge se
.
No nosso caso, a razão
é
, que é maior que 1. Então, a série geométrica correspondente
diverge.
Passo 4
Como a nossa série original se comporta de maneira semelhante a uma série geométrica com razão maior que 1, podemos aplicar o Teste da Comparação. Isso significa que se a série comparada (no caso, a série geométrica) diverge, então a nossa série original também diverge.
Passo 5
Portanto, concluímos que a série:
não converge, ou seja, ela diverge.
Resposta
A série
diverge.