Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
Passo 1
Vamos analisar o comportamento da série
. Neste exercício, trabalharemos com séries infinitas, que é um tópico de Cálculo. Para resolver, precisaremos entender como funções e sequências se comportam quando
tende ao infinito e aplicar testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão geral dos termos da série:
. Aqui,
é uma constante e
é uma função que depende de
.
Passo 3
Para entender o comportamento da série, precisamos examinar o limite do termo geral quando
tende ao infinito. Calculamos:
Se este limite não for zero, a série diverge. Se for zero, precisamos aplicar outros testes de convergência.
Passo 4
Assumindo que
tende a um valor
quando
vai para o infinito, então:
Se
, então o limite não é zero, o que implica que a série
diverge.
Passo 5
Por outro lado, se
, ou seja,
, então a série pode convergir ou divergir. Nesse caso, precisaríamos usar um teste específico, como o teste da comparação ou o teste da série p, para determinar o comportamento exato.
Passo 6
Sem informações adicionais sobre a função
, não podemos determinar com precisão o comportamento da série. No entanto, se soubermos a taxa de decaimento de
, poderíamos aplicar um teste adequado para concluir sobre a convergência ou divergência da série.
Resposta
Portanto, sem informações adicionais sobre a função
, não é possível determinar conclusivamente o comportamento da série
. Se
tende a um valor diferente de zero quando
tende ao infinito, a série diverge. Caso contrário, precisamos de mais detalhes sobre
para aplicar testes de convergência apropriados.