Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty t g(1 / n)

Passo 1

Vamos analisar o comportamento da série sumn=1^+infty t cdot g(1n). Neste exercício, trabalharemos com séries infinitas, que é um tópico de Cálculo. Para resolver, precisaremos entender como funções e sequências se comportam quando n tende ao infinito e aplicar testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão geral dos termos da série: t cdot g(1n). Aqui, t é uma constante e g(1n) é uma função que depende de n.

Passo 3

Para entender o comportamento da série, precisamos examinar o limite do termo geral quando n tende ao infinito. Calculamos:
limn to infty t cdot g(1n)
Se este limite não for zero, a série diverge. Se for zero, precisamos aplicar outros testes de convergência.

Passo 4

Assumindo que g(1n) tende a um valor L quando n vai para o infinito, então:
limn to infty t cdot g(1n) = t cdot L
Se L neq 0, então o limite não é zero, o que implica que a série sumn=1^+infty t cdot g(1n) diverge.

Passo 5

Por outro lado, se L = 0, ou seja, limn to infty g(1n) = 0, então a série pode convergir ou divergir. Nesse caso, precisaríamos usar um teste específico, como o teste da comparação ou o teste da série p, para determinar o comportamento exato.

Passo 6

Sem informações adicionais sobre a função g(x), não podemos determinar com precisão o comportamento da série. No entanto, se soubermos a taxa de decaimento de g(1n), poderíamos aplicar um teste adequado para concluir sobre a convergência ou divergência da série.

Resposta

Portanto, sem informações adicionais sobre a função g(x), não é possível determinar conclusivamente o comportamento da série sumn=1^+infty t cdot g(1n). Se g(1n) tende a um valor diferente de zero quando n tende ao infinito, a série diverge. Caso contrário, precisamos de mais detalhes sobre g(x) para aplicar testes de convergência apropriados.

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