Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral
Passo 1
Nesta questão, vamos verificar se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontrar sua solução geral. Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente verificando a exatidão da equação. Para isso, vamos identificar as funções envolvidas e aplicar os critérios de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão
. Na nossa equação:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e verificar se são iguais. Ou seja, precisamos ver se:
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Como
, a equação diferencial é exata.
Passo 7
Agora, para encontrar a solução geral, buscamos uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
onde
é uma função de
que surge da integração.
Passo 8
Para determinar
, calculamos
e igualamos a
:
Igualando a
:
Isso implica que
, portanto
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: