Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral
2 cdot cos (2 x-y) d x-cos (2 x-y) d y=0

Passo 1

Nesta questão, vamos verificar se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontrar sua solução geral. Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente verificando a exatidão da equação. Para isso, vamos identificar as funções envolvidas e aplicar os critérios de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0 . Na nossa equação:
M(x, y) = 2 cos(2x - y)
N(x, y) = -cos(2x - y)

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x e verificar se são iguais. Ou seja, precisamos ver se:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 4

Calculando partial Mpartial y :
partial Mpartial y = partialpartial y [ 2 cos(2x - y) ] = 2 cdot (-sin(2x - y)) cdot (-1) = 2 sin(2x - y)

Passo 5

Calculando partial Npartial x :
partial Npartial x = partialpartial x [ -cos(2x - y) ] = -(-sin(2x - y)) cdot 2 = 2 sin(2x - y)

Passo 6

Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação diferencial é exata.

Passo 7

Agora, para encontrar a solução geral, buscamos uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M = 2 cos(2x - y)
Integrando M em relação a x :
F(x, y) = integral 2 cos(2x - y) , dx = sin(2x - y) + h(y)
onde h(y) é uma função de y que surge da integração.

Passo 8

Para determinar h(y) , calculamos partial Fpartial y e igualamos a N :
partial Fpartial y = partialpartial y [ sin(2x - y) + h(y) ] = -cos(2x - y) + h'(y)
Igualando a N :
-cos(2x - y) + h'(y) = -cos(2x - y)
Isso implica que h'(y) = 0 , portanto h(y) é uma constante, que podemos chamar de C .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
sin(2x - y) = C

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