Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty (2 n)^nn^2 n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência de
sumn=1^infty (2n)^nn^2n .
O conteúdo que vamos usar é o teste da raiz n-ésima, que é indicado quando o termo geral envolve potências que crescem com n.

Passo 2

Simplificamos o termo geral para facilitar a aplicação do teste:
(2n)^nn^2n = 2^n,n^nn^2n = 2^nn^n
Logo, basta analisar a série
sumn=1^infty2^nn^n.

Passo 3

No teste da raiz, calculamos
L = limntoinfty raiz[n]2^nn^n = limntoinfty 2n = 0
Como L<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty (2n)^nn^2n converge absolutamente e, portanto, converge.

Exercícios relacionados