Discuta o comportamento das séries abaixo, justificando sua resposta:
sumn=0^+infty n!2.5 8 cdots(3 n+2)

Passo 1

Resumindo: precisamos discutir a convergência da série de termos positivos
sumn=0^infty an, an = n!2cdot 5 cdot 8 cdots (3n+2)
O conteúdo principal é o teste da razão de Cauchy (ou razão de d’Alembert), que serve para séries de termos positivos.

Passo 2

Começamos calculando a razão dos termos consecutivos:
an+1an = (n+1)!2cdot5cdot8cdots(3n+2)cdot(3(n+1)+2) n! 2cdot5cdot8cdots(3n+2)
Ao simplificar fator a fator, fica
an+1an = (n+1)!n!,13n+5 = n+13n+5

Passo 3

Agora tomamos o limite dessa razão quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an = limntoinftyn+13n+5 = 13
Como esse limite L=tfrac13 é estritamente menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=0^inftyn!2cdot5cdot8cdots(3n+2) converge absolutamente (e logo converge), pois o teste da razão dá limite tfrac13<1.

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