Discuta o comportamento das séries abaixo, justificando sua resposta:
Passo 1
Resumindo: precisamos discutir a convergência da série de termos positivos
O conteúdo principal é o teste da razão de Cauchy (ou razão de d’Alembert), que serve para séries de termos positivos.
Passo 2
Começamos calculando a razão dos termos consecutivos:
Ao simplificar fator a fator, fica
Passo 3
Agora tomamos o limite dessa razão quando
:
Como esse limite
é estritamente menor que
, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.
Resposta
A série
converge absolutamente (e logo converge), pois o teste da razão dá limite
.