Exercício 7. Resolva as seguintes inequações modulares:
|x-2|+|x+8| >= 2 x+12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação modular
|x-2| + |x+8| >= 2x + 12
O conteúdo aqui é inequação com valor absoluto. Para resolver, vamos dividir em casos usando os pontos onde os módulos mudam de sinal: x = -8 e x = 2.

Passo 2

Caso x < -8:
Nesse intervalo temos x-2<0 e x+8<0, então
|x-2| = 2 - x, |x+8| = -x - 8
Logo
|x-2| + |x+8| = (2 - x) + (-x - 8) = -2x - 6
A inequação fica
-2x - 6 >= 2x + 12 Longrightarrow -4x >= 18 Longrightarrow x <= -92
Mas estamos em x< -8, e -tfrac92 = -4,5. Assim, nessa região toda x< -8 satisfaz a condição.

Passo 3

Caso -8 <= x < 2:
Aqui x-2<0 e x+8>=0, ou seja
|x-2| = 2 - x, |x+8| = x + 8
Então
|x-2| + |x+8| = (2 - x) + (x + 8) = 10
A inequação passa a ser
10 >= 2x + 12 Longrightarrow -2 >= 2x Longrightarrow x <= -1
Intersectando com -8 <= x < 2, obtemos
-8 <= x <= -1

Passo 4

Caso x >= 2:
Ambos argumentos são não negativos, logo
|x-2| = x - 2, |x+8| = x + 8,
e
|x-2| + |x+8| = (x - 2) + (x + 8) = 2x + 6
A inequação vira
2x + 6 >= 2x + 12 Longrightarrow 6 >= 12,
o que é falso. Portanto, não há solução em x >= 2.

Passo 5

Unindo as soluções dos casos:
  • Para x < -8, toda a região vale.
  • Para -8 <= x < 2, vale -8 <= x <= -1.
  • Para x >= 2, não há pontos.
    Assim a solução geral é
(-infty, -8) cup [-8, -1] = (-infty, -1]

Resposta

boxedx <= -1

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