Exercício 7. Resolva as seguintes inequações modulares:
|x^2-5 x+6|>2-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
l|x^2-5x+6r|>2-x
O conteúdo aqui é inequação modular. Para resolver, vamos separar o domínio conforme o sinal de 2 - x e, em cada região, retirar o valor absoluto transformando em duas desigualdades sem módulo.

Passo 2

Determine onde o lado direito é não-positivo ou positivo:
– Se 2 - x<0, isto é, x>2.
– Se 2 - x>=0, isto é, x<=2.

Passo 3

Para x>2 temos 2 - x<0. Como l|x^2-5x+6r|>=0, então
0 > 2 - x
implica imediatamente
l|x^2-5x+6r|>2-x
para todo x>2.

Passo 4

Para x<=2 temos 2 - x>=0, então podemos remover o módulo por duas condições:
1.
x^2-5x+6 > 2 - x
que se rearranja para
x^2-4x+4>0 Long<=ftrightarrow (x-2)^2>0
que vale para todo xneq2. Dentro de x<=2 isso é equivalente a x<2.
2.
x^2-5x+6 < -(2 - x)
que dá
x^2-6x+8<0 Long<=ftrightarrow (x-2)(x-4)<0
cuja solução é 2<x<4. Mas intersectando com x<=2 não sobra nada.

Passo 5

Da análise em x<=2 obtemos x<2. Da análise em x>2 valem todos os x>2. O ponto x=2 falha na inequação original.

Resposta

(-infty,2),cup,(2,infty)

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