Exercício 7. Resolva as seguintes inequações modulares:
|x^2-9|+x <= 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
|x^2-9| + x <= 3
O conteúdo aqui é inequação modular. Vamos usar a definição de valor absoluto em função do sinal de x^2-9, dividindo o domínio em casos.

Passo 2

Determine onde x^2-9 é não negativo ou negativo. Temos
x^2-9>=0Long<=ftrightarrow |x|>=3ou seja x<=-3 ou x>=3,
e
x^2-9<0Long<=ftrightarrow -3<x<3
Assim consideramos os três intervalos (-infty,-3], (-3,3) e [3,infty).

Passo 3

Para x<=-3, tem-se lvert x^2-9rvert=x^2-9. A inequação vira
x^2-9 + x <= 3 Long<=ftrightarrow x^2 + x -12 <= 0
O discriminante é
De<a = 1^2 - 4cdot1cdot(-12) = 1 + 48 = 49,
e as raízes são
x = -1pm72 = -4, 3
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a expressão é não positiva para -4<= x<=3. Intersectando com x<=-3, obtemos
-4 <= x <= -3

Passo 4

Para -3 < x < 3, tem-se lvert x^2-9rvert = 9 - x^2. A inequação fica
9 - x^2 + x <= 3 Long<=ftrightarrow -x^2 + x +6 <= 0
Multiplicando por -1 (inverte o sinal da desigualdade):
x^2 - x -6 >= 0
O discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot(-6) = 1 + 24 = 25,
raízes em
x = 1pm52 = -2, 3
Parábola abre para cima, logo x^2-x-6>=0 se x<=-2 ou x>=3. Intersectando com -3<x<3 sobra
-3 < x <= -2

Passo 5

Para x>=3, volta-se a lvert x^2-9rvert = x^2-9 e repete-se o cálculo do passo 3:
x^2+x-12<=0
solução -4<= x<=3. Intersectando com x>=3
x = 3

Passo 6

Unindo os resultados dos três casos:
[-4,-3];cup;(-3,-2];cup;3 = [-4,-2]cup3

Resposta

[-4,-2]cup3

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