Discuta o comportamento das séries abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty t g(1 / n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente discutir o comportamento da série infinita sumn=1^+infty t cdot g(1n). Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas, como testes de convergência, e entender como a função g se comporta quando seu argumento é 1n. Basicamente, vamos descobrir se essa série converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita).

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série: sumn=1^+infty t cdot g(1n). Aqui, t é uma constante e g(1n) é uma função que depende de n. Para analisar a convergência dessa série, precisamos saber como g(1n) se comporta quando n aumenta, ou seja, quando n vai para o infinito.

Passo 3

Vamos supor que g(1n) se comporta como uma função do tipo 1n^p, onde p é uma constante positiva. Isso é comum em muitos problemas de séries. Então, a série ficaria assim: sumn=1^+infty t cdot 1n^p.

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^+infty 1n^p é conhecida como série p. A convergência dessa série depende do valor de p:
  • Se p > 1, a série converge.
  • Se p <= 1, a série diverge.

Passo 5

Aplicando isso à nossa série original sumn=1^+infty t cdot 1n^p:
  • Se p > 1, a série sumn=1^+infty t cdot 1n^p também converge, já que multiplicar por uma constante t não muda o comportamento de convergência.
  • Se p <= 1, a série diverge.

Passo 6

Portanto, para determinar o comportamento da série original, precisamos identificar o valor de p na função g(1n). Se g(1n) se comporta como 1n^p com p > 1, a série converge. Caso contrário, ela diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty t cdot g(1n) converge se a função g(1n) se comportar como 1n^p com p > 1. Caso contrário, a série diverge.

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