Discuta o comportamento das séries abaixo, justificando sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente discutir o comportamento da série infinita
. Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas, como testes de convergência, e entender como a função
se comporta quando seu argumento é
. Basicamente, vamos descobrir se essa série converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita).
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série:
. Aqui,
é uma constante e
é uma função que depende de
. Para analisar a convergência dessa série, precisamos saber como
se comporta quando
aumenta, ou seja, quando
vai para o infinito.
Passo 3
Vamos supor que
se comporta como uma função do tipo
, onde
é uma constante positiva. Isso é comum em muitos problemas de séries. Então, a série ficaria assim:
.
Passo 4
Sabemos que a série
é conhecida como série p. A convergência dessa série depende do valor de
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Passo 5
Aplicando isso à nossa série original
:
- Se
, a série também converge, já que multiplicar por uma constante não muda o comportamento de convergência. - Se
, a série diverge.
Passo 6
Portanto, para determinar o comportamento da série original, precisamos identificar o valor de
na função
. Se
se comporta como
com
, a série converge. Caso contrário, ela diverge.
Resposta
A série
converge se a função
se comportar como
com
. Caso contrário, a série diverge.