Exercício 8. Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=l|x^2-4x+3r|
Aqui o conteúdo é valor absoluto aplicado a uma função quadrática. Para desenhar o gráfico, vamos:
Determinar onde o polinômio interno muda de sinal.
Escrever f de forma piecewise.
Identificar pontos-chave (raízes e vértice).
Montar o esboço juntando os ramos.
Passo 2
Fatoramos o polinômio dentro do módulo:
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)
As raízes são x=1 e x=3. Como o coeficiente líder é positivo, o polinômio é:
Positivo para x<=1 e para x>=3.
Negativo para 1<x<3.
Passo 3
Isso nos permite escrever
f(x)= x^2-4x+3, & x<=1 ou x>=3, -,(x^2-4x+3), & 1<= x<=3
Passo 4
Agora localizamos os pontos principais:
Em x=1 e em x=3, o polinômio interno é zero, logo f(1)=0, f(3)=0
O vértice da parábola original y=x^2-4x+3 fica em x=2, com valor 2^2-4cdot2+3=-1 Após o módulo, esse ponto reflete para f(2)=l|-1r|=1, que é o pico do trecho invertido em [1,3].
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico:
Para x<=1: ramo da parábola padrão subindo do infinito positivo até o ponto (1,0).
Para 1<= x<=3: ramo de parábola invertido ligando (1,0) a (3,0), com um máximo suave em (2,1).
Para x>=3: o mesmo ramo da parábola padrão continua subindo a partir de (3,0).
O resultado é uma curva contínua, com “canto” (vértice de quebra) em (1,0) e (3,0), e um único pico interno em (2,1).
Resposta
f(x)= x^2-4x+3, & x<=1 ou x>=3, -,l(x^2-4x+3r), & 1<= x<=3,
com esboço formado por:
Ramo ascendente de parábola para x<=1 chegando em (1,0).
Ramo invertido para 1<= x<=3 indo de (1,0) a (3,0), com máximo em (2,1).
Ramo ascendente de parábola para x>=3 partindo de (3,0).