Exercício 8. Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=|x-1|+|2 x-4|

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=|x-1|+|2x-4|
O conteúdo principal aqui é tratar valores absolutos transformando-os em funções lineares em cada região onde os argumentos mudam de sinal. Vamos precisar identificar os pontos em que x-1 e 2x-4 mudam de sinal, escrever a forma de f(x) em cada intervalo e depois montar o gráfico a partir dessas retas.

Passo 2

Determinamos os pontos em que cada valor absoluto troca de sinal:
x-1=0implies x=1, 2x-4=0implies x=2
Esses dois pontos dividem a reta real em três intervalos: (-infty,1), [1,2) e [2,infty). Em cada um vamos tirar o “absoluto” trocando sinal se necessário.

Passo 3

Analisamos cada intervalo:
— Para x<1:
,x-1<0 então |x-1|=1-x,
,2x-4<0 (pois x<1implies2x<2) então |2x-4|=4-2x.
Logo
f(x)=(1-x)+(4-2x)=5-3x
— Para 1<= x<2:
,x-1>=0 então |x-1|=x-1,
,2x-4<0 (pois x<2) então |2x-4|=4-2x.
Logo
f(x)=(x-1)+(4-2x)=3-x
— Para x>=2:
,x-1>=0 então |x-1|=x-1,
,2x-4>=0 então |2x-4|=2x-4.
Logo
f(x)=(x-1)+(2x-4)=3x-5

Passo 4

Verificamos agora o valor nos pontos de transição para garantir continuidade e anotar pontos-chave:
— Em x=1:
,f(1)=|1-1|+|2-4|=0+2=2
— Em x=2:
,f(2)=|2-1|+|4-4|=1+0=1
Ambos coincidem com os valores das retas em cada intervalo, então não há “quebra” no gráfico, só mudança de inclinação.

Passo 5

Reunindo tudo, a função é
f(x)= 5-3x, & x<1, 3-x, & 1<= x<2, 3x-5, & x>= 2
Isso gera um gráfico piecewise linear:
  1. Para x<1 uma reta decrescente de coeficiente angular -3, passando por (1,2).
  2. De x=1 até x=2 outra reta decrescente, menos inclinada, coeficiente -1, ligando (1,2) a (2,1).
  3. Para x>=2 uma reta crescente de coeficiente 3, a partir de (2,1).
O ponto mais baixo é (2,1), pois aí a inclinação muda de negativa para positiva.

Resposta

O esboço consiste em três segmentos de reta unindo os pontos-chave:
(-infty,5-3x)longrightarrow (1,2)longrightarrow (2,1)longrightarrow (+infty,3x-5),
com equações
f(x)= 5-3x, & x<1, 3-x, & 1<= x<2, 3x-5, & x>= 2,
com mínimo em (2,1).

Exercícios relacionados