Exercício 8. Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
O conteúdo principal aqui é tratar valores absolutos transformando-os em funções lineares em cada região onde os argumentos mudam de sinal. Vamos precisar identificar os pontos em que e mudam de sinal, escrever a forma de em cada intervalo e depois montar o gráfico a partir dessas retas.
Passo 2
Determinamos os pontos em que cada valor absoluto troca de sinal:
Esses dois pontos dividem a reta real em três intervalos: , e . Em cada um vamos tirar o “absoluto” trocando sinal se necessário.
Passo 3
Analisamos cada intervalo:
— Para : então , (pois ) então .
Logo
— Para : então , (pois ) então .
Logo
— Para : então , então .
Logo
Passo 4
Verificamos agora o valor nos pontos de transição para garantir continuidade e anotar pontos-chave:
— Em :
— Em :
Ambos coincidem com os valores das retas em cada intervalo, então não há “quebra” no gráfico, só mudança de inclinação.
Passo 5
Reunindo tudo, a função é
Isso gera um gráfico piecewise linear:
Para x<1 uma reta decrescente de coeficiente angular -3, passando por (1,2).
De x=1 até x=2 outra reta decrescente, menos inclinada, coeficiente -1, ligando (1,2) a (2,1).
Para x>=2 uma reta crescente de coeficiente 3, a partir de (2,1).
O ponto mais baixo é (2,1), pois aí a inclinação muda de negativa para positiva.
Resposta
O esboço consiste em três segmentos de reta unindo os pontos-chave: