Sejam
e
funçōes escalares tais que existam
e
e seja
uma constante. Prove que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se temos uma constante
e uma função escalar
que tem gradiente
, então o gradiente de
é igual a
. Isso está dentro do assunto de cálculo vetorial, mais especificamente, propriedades do operador gradiente. Para resolver, vamos usar as definições básicas do gradiente e as propriedades de constantes em funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
, representado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e cujo módulo é a taxa de variação máxima de
. Em coordenadas cartesianas, se
é função de
, então:
Passo 3
Agora, consideremos a função
, onde
é uma constante. Queremos encontrar
. Aplicando a definição do gradiente:
Passo 4
Como
é uma constante, podemos tirar ela da derivada. Ou seja:
Passo 5
Substituindo de volta no gradiente, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que
.