Sejam f e g funçōes escalares tais que existam nabla f e nabla g e seja c uma constante. Prove que:
nabla(c f)=c nabla f

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se temos uma constante c e uma função escalar f que tem gradiente nabla f , então o gradiente de c cdot f é igual a c cdot nabla f . Isso está dentro do assunto de cálculo vetorial, mais especificamente, propriedades do operador gradiente. Para resolver, vamos usar as definições básicas do gradiente e as propriedades de constantes em funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar f , representado por nabla f , é um vetor que aponta na direção de maior aumento de f e cujo módulo é a taxa de variação máxima de f . Em coordenadas cartesianas, se f é função de x, y, z , então:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )

Passo 3

Agora, consideremos a função c cdot f , onde c é uma constante. Queremos encontrar nabla (c cdot f) . Aplicando a definição do gradiente:
nabla (c cdot f) = ( partial (c cdot f)partial x, partial (c cdot f)partial y, partial (c cdot f)partial z )

Passo 4

Como c é uma constante, podemos tirar ela da derivada. Ou seja:
partial (c cdot f)partial x = c cdot partial fpartial x
partial (c cdot f)partial y = c cdot partial fpartial y
partial (c cdot f)partial z = c cdot partial fpartial z

Passo 5

Substituindo de volta no gradiente, temos:
nabla (c cdot f) = ( c cdot partial fpartial x, c cdot partial fpartial y, c cdot partial fpartial z ) = c cdot ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = c cdot nabla f

Resposta

Portanto, mostramos que nabla(c cdot f) = c cdot nabla f .

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