Discuta o comportamento das soluções do problema de valor inicial abaixo em termos da condição inicial a:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar o problema de valor inicial:
,
, com
. Isso cai em Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem lineares e vamos precisar usar o conceito de fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro dividimos por
para pôr em forma padrão
:
Aqui
e
. O fator integrante é
Passo 3
Multiplicando a EDO por
obtemos
Integrando em
,
logo a solução geral é
Passo 4
Impondo a condição inicial
temos
Portanto a solução particular é
Passo 5
Analisando
: o numerador cresce como
e o denominador como
, então
para todo
.
Passo 6
Analisando
: o numerador tende a
e o denominador a zero como
, logo
- Se
(isto é, ), então . - Se
(isto é, ), então . - Se
(isto é, ), o numerador é e .
Além disso, paraexiste uma raiz única da solução em
onde
, e para
a solução é sempre positiva.
Passo 7
Em resumo, a solução é
com comportamento:
-
quando para todo . -
ou quando conforme ou , enquanto para temos .
Passo 8
Dependendo de
, a solução muda de sinal uma vez em
; se
,
mantém sinal positivo para todo
.
Resposta
A solução geral do PVI é
Para todo