Discuta o comportamento das soluções do problema de valor inicial abaixo em termos da condição inicial a:
x y^prime+(x+1) y=2 x e^-x, y(1)=a e x>0.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o problema de valor inicial: x y'+(x+1)y=2x e^-x, y(1)=a, com x>0. Isso cai em Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem lineares e vamos precisar usar o conceito de fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro dividimos por x para pôr em forma padrão y'+P(x)y=Q(x):
y'+x+1x,y=2e^-x
Aqui P(x)=1+1x e Q(x)=2e^-x. O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral(1+1/x),dx=e^x+ln x=x e^x

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos
ddxl(y,x e^xr)=2e^-x,x e^x=2x
Integrando em x,
y,x e^x=integral2x,dx=x^2+C,
logo a solução geral é
y(x)=x^2+Cx e^x

Passo 4

Impondo a condição inicial y(1)=a temos
1^2+C1,e=aimplies C=a e-1
Portanto a solução particular é
y(x)=x^2+ae-1x e^x

Passo 5

Analisando xto+infty: o numerador cresce como x^2 e o denominador como x e^x, então
limxto+inftyy(x)=0
para todo a.

Passo 6

Analisando xto0^+: o numerador tende a ae-1 e o denominador a zero como x, logo
  • Se ae-1>0 (isto é, a>1/e), então y(x)to+infty.
  • Se ae-1<0 (isto é, a<1/e), então y(x)to-infty.
  • Se ae-1=0 (isto é, a=1/e), o numerador é x^2 e y(x)=x e^-xto0.
    Além disso, para a<1/e existe uma raiz única da solução em
x0=raiz1-ae,
onde y(x0)=0, e para a>1/e a solução é sempre positiva.

Passo 7

Em resumo, a solução é
y(x)=x^2+ae-1x e^x,
com comportamento:
  • y(x)to0 quando xto+infty para todo a.
  • y(x)to+infty ou -infty quando xto0^+ conforme a>1/e ou a<1/e, enquanto para a=1/e temos y(x)to0.

Passo 8

Dependendo de a<1/e, a solução muda de sinal uma vez em x0=raiz1-ae; se a>=1/e, y(x) mantém sinal positivo para todo x>0.

Resposta

A solução geral do PVI é
y(x)=x^2+ae-1x e^x
Para todo a vale y(x)to0 quando xto+infty. Quando xto0^+: se a>1/e, yto+infty; se a<1/e, yto-infty e há uma raiz única em x0=raiz1-ae; para a=1/e, y(x)=x e^-xto0 mantendo-se finita em 0^+. Assim, apenas a=1/e produz solução limitada em x=0, e todos tendem a zero no infinito.

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