Questão 4. Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime-10 y^prime+25 y=30 t+3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' - 10y' + 25y = 30t + 3
Este é um caso de EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não‐homogêneo polinomial. Vamos, então:
  1. Resolver a parte homogênea.
  2. Encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar.
  3. Somar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
yh: y'' - 10y' +25y=0
A equação característica é
r^2 - 10r + 25 = 0 Longrightarrow (r-5)^2 = 0,
logo há raiz dupla r=5. Portanto
yh = C1 e^5t + C2,t,e^5t

Passo 3

Como o termo não‐homogêneo é 30t+3 (polinômio de grau 1), tentamos
yp = A,t + B
Calculamos
y'p = A, y''p = 0,
e substituímos na equação original:
0 -10A +25(At + B) = 30t + 3 Longrightarrow 25A,t + (25B -10A) = 30t + 3
Igualando coeficientes de t e termos constantes:
25A = 30 implies A = tfrac65,
25B -10A = 3 implies 25B -10cdottfrac65 = 3 implies 25B -12 = 3 implies B = tfrac35
Logo
yp = tfrac65t + tfrac35

Passo 4

A solução geral é a soma das partes homogênea e particular:
y(t) = yh + yp = C1 e^5t + C2,t,e^5t + tfrac65t + tfrac35

Resposta

y(t) = C1 e^5t + C2,t,e^5t + 65t + 35

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