Discuta a continuidade das funções:
f(x, y)=ln (x+y-1)

Passo 1

O enunciado pede para discutir a continuidade da função
f(x,y)=ln(x+y-1)
O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis e precisamos primeiro encontrar o domínio natural da função antes de avaliar onde ela é contínua.

Passo 2

O logaritmo natural exige argumento positivo, então impomos
x + y - 1 > 0,
isto é
x + y > 1
Portanto o domínio natural é
D = (x,y)inR^2 mid x+y>1

Passo 3

A função ,(x,y)mapsto x+y-1 é contínua em R^2, e a função ln é contínua em (0,infty). Pela composição de funções contínuas,
f(x,y)=lnl(x+y-1r)
é contínua em todo ponto de D.

Passo 4

Fora de D (isto é, para x+y<=1) o argumento do logaritmo não é positivo e a função nem se define; logo, não há continuidade fora de D. Em particular, na reta x+y=1 não há definição nem continuidade.

Resposta

f é contínua exatamente no conjunto
(x,y)inR^2mid x+y>1,
e não está definida (portanto não contínua) para x+y<=1.

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