Use a limitação para mostrar que as funções abaixo têm limite igual a zero na origem.
f(x, y, z)=\frac{3 x^{2} y+y z{3}}{x{2}+{ }{2}+z{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x,y,z)=3x^2y+y z^3x^2+y^2+z^2
tende a zero quando (x,y,z)to(0,0,0). O conteúdo é limite de função de três variáveis e usaremos desigualdades para comparar lvert f(x,y,z)rvert com expressões em função da distância à origem.

Passo 2

Para estimar lvert f(x,y,z)rvert, definimos
rho = raizx^2+y^2+z^2,
que é a distância de (x,y,z) à origem. Então
lvert f(x,y,z)rvert = lvert 3x^2y + y z^3rvertx^2+y^2+z^2 <= 3lvert x^2yrvert + lvert y z^3rvertrho^2

Passo 3

Agora boundeamos cada termo do numerador em função de rho:
lvert x^2yrvert = x^2,lvert yrvert <= rho^2cdotrho = rho^3,
pois lvert yrvert<=rho e x^2<=rho^2. E
lvert y z^3rvert = lvert yrvert,lvert zrvert^3 <= rhocdotrho^3 = rho^4
Logo
3lvert x^2yrvert + lvert yz^3rvert <= 3rho^3 + rho^4

Passo 4

Substituindo na estimativa de lvert f(x,y,z)rvert, obtemos
lvert f(x,y,z)rvert <= 3rho^3 + rho^4rho^2 = 3rho + rho^2
Como rhoto0 quando (x,y,z)to(0,0,0), a expressão 3rho+rho^2 tende a zero.

Resposta

Portanto,
lim(x,y,z)to(0,0,0) f(x,y,z) = 0

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