Discuta a continuidade das funções listadas abaixo no ponto dado. em p=0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre continuidade de funções! A gente tem uma função f(x) definida de forma diferente para x igual a zero e para valores de x diferentes de zero. O ponto que a gente quer analisar é p = 0 . Para ver se a função é contínua nesse ponto, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f(x) é contínua no ponto p se três condições forem verdadeiras:
A função está definida em p (ou seja, f(p) existe).
O limite de f(x) quando x se aproxima de p existe.
O limite de f(x) quando x se aproxima de p é igual a f(p) .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa função no ponto p = 0 .
Passo 3
Primeiro, vamos ver se a função está definida em [p = 0). Olhando a definição da função:
Quando . Então, a primeira condição está satisfeita: a função está definida em .
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 0. Como a definição da função muda dependendo se x é ou não zero, vamos calcular o limite tanto pela esquerda quanto pela direita.
Para x neq 0 , f(x) = -x . Então,
limx to 0 f(x) = limx to 0 (-x) = 0
Portanto, o limite quando x se aproxima de 0 é 0. Isso significa que a segunda condição também está satisfeita: o limite existe.
Passo 5
Finalmente, vamos comparar o limite que encontramos com o valor da função no ponto. Temos:
limx to 0 f(x) = 0 e f(0) = 1
Como esses dois valores não são iguais ( 0 neq 1 ), a terceira condição não é satisfeita.
Resposta
A função não é contínua no ponto p = 0 porque o limite quando x se aproxima de 0 é diferente do valor da função em 0.