Discuta a continuidade das funções a seguir.
f(x, y)=sin (x+y)x+y, se x+y neq 0 e f(x,-x)=1

Passo 1

O enunciado define
Queremos discutir onde , pois fora dela é quociente de funções contínuas com denominador não nulo.]

Passo 2

Se x+yneq0, então f(x,y)=dfracsin(x+y)x+y é quociente de funções contínuas ( sin e a função identidade x+y) com denominador diferente de zero. Logo, f é contínua em todo ponto com x+yneq0.

Passo 3

Agora seja (a,b) tal que a+b=0. Então f(a,b)=1. Para qualquer aproximação de (x,y)to(a,b) temos x+yto a+b=0. Definindo t=x+y,
lim(x,y)to(a,b)f(x,y) = limtto0sin tt =1
Como o valor do limite coincide com o valor definido f(a,b)=1, concluímos que f é contínua em todos os pontos da reta x+y=0.

Resposta

A função f é contínua em todo R^2.

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