Discuta a continuidade das funções a seguir.
f(x, y)=4 x^2+9 y^2, se 4 x^2+9 y^2 neq 1 e f(x, y)=0, se 4 x^2+9 y^2>1

Passo 1

O enunciado pede para discutir a continuidade da função fcolonR^2toR definida por duas fórmulas, dependendo da quantidade 4x^2+9y^2. O conteúdo aqui é continuidade em R^2 e uso de resultados padrão: polinômios são contínuos e funções constantes são contínuas. Em seguida, vamos checar o que ocorre na fronteira 4x^2+9y^2=1.

Passo 2

Separemos o domínio em três partes:
A = (x,y)mid 4x^2+9y^2<1,
B = (x,y)mid 4x^2+9y^2>1,
E = (x,y)mid 4x^2+9y^2=1.

Passo 3

Em A, temos
f(x,y)=4x^2+9y^2
Como 4x^2+9y^2 é um polinômio em x,y, e polinômios são contínuos em toda parte, conclui-se que f é contínua em todo ponto de A.

Passo 4

Em B, temos
f(x,y)=0,
que é função constante. Funções constantes são contínuas, logo f é contínua em todo ponto de B.

Passo 5

Agora, seja (x0,y0)in E, isto é, 4x0^2+9y0^2=1.
  • Se nos aproximarmos de (x0,y0) por pontos de A, fto 4x0^2+9y0^2=1.
  • Se nos aproximarmos por pontos de B, fto 0.
    Como esses dois limites laterais são diferentes, o limite de f em (x0,y0) não existe, e portanto f é descontínua em todo ponto de E.

Resposta

A função f é contínua em (x,y)mid 4x^2+9y^2<1 e em (x,y)mid 4x^2+9y^2>1, e é descontínua em cada ponto da curva (x,y)mid 4x^2+9y^2=1.

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