Discuta a continuidade das funções a seguir.
, se
e
, se
Passo 1
O enunciado pede para discutir a continuidade da função
definida por duas fórmulas, dependendo da quantidade
. O conteúdo aqui é continuidade em
e uso de resultados padrão: polinômios são contínuos e funções constantes são contínuas. Em seguida, vamos checar o que ocorre na fronteira
.
Passo 2
Separemos o domínio em três partes:
,
,
.
Passo 3
Em
, temos
Como
é um polinômio em
, e polinômios são contínuos em toda parte, conclui-se que
é contínua em todo ponto de
.
Passo 4
Em
, temos
que é função constante. Funções constantes são contínuas, logo
é contínua em todo ponto de
.
Passo 5
Agora, seja
, isto é,
.
- Se nos aproximarmos de
por pontos de , . - Se nos aproximarmos por pontos de
, .
Como esses dois limites laterais são diferentes, o limite deem não existe, e portanto é descontínua em todo ponto de .
Resposta
A função
é contínua em
e em
, e é descontínua em cada ponto da curva
.