Discuta a continuidade das funções a seguir.
f(x, y)=x z-y^2x^2+y^2+z^2 se (x, y, z) neq(0,0,0) e f(0,0,0)=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)= dfracxz - y^2x^2+y^2+z^2,& (x,y,z)neq(0,0,0), 0,&(x,y,z)=(0,0,0),
e pede para discutir onde ela é contínua. O conteúdo é continuidade de funções de várias variáveis e, em particular, analisar o comportamento no ponto (0,0,0).

Passo 2

Para (x,y,z)neq(0,0,0) o denominador x^2+y^2+z^2 é estritamente positivo, logo f é quociente de funções polinomiais com denominador não nulo. Portanto, f é contínua em todo ponto (x,y,z)neq(0,0,0).

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0,0). Para isso, precisamos estudar
lim(x,y,z)to(0,0,0)xz-y^2x^2+y^2+z^2
e comparar com f(0,0,0)=0. Se o limite existir e for zero, então f é contínua na origem; caso contrário, não é.

Passo 4

Escolhemos duas trajetórias diferentes rumo à origem:
bul<=t Pela reta (x,y,z)=(t,0,t):
f(t,0,t) =tcdot t - 0t^2+0+t^2 =t^22t^2 =12,
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limtto 0f(t,0,t)=tfrac12
bul<=t Pela reta (x,y,z)=(0,t,0):
f(0,t,0) =0cdot0 - t^20+t^2+0 =-1,
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limtto 0f(0,t,0)=-1
Como esses dois limites são diferentes ( tfrac12 e -1), o limite de f(x,y,z) quando (x,y,z)to(0,0,0) não existe.

Passo 5

A inexistência do limite na origem implica que f não é contínua em (0,0,0). Nos demais pontos, f é contínua.

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos (x,y,z)neq(0,0,0) e descontínua em (0,0,0).

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