Discuta a continuidade das funções a seguir.
f(x, y)=x^2+y^2+z^2, se x^2+y^2+z^2 <= 1 e f(x, y, z)=0, se x^2+y^2+z^2>1.

Passo 1

O enunciado define a função
O objetivo é discutir onde .

Passo 2

No interior do bolo unitário, isto é, em (x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<1, f coincide com o polinômio (x,y,z)mapsto x^2+y^2+z^2, que é contínuo em toda R^3. Logo, f é contínua para x^2+y^2+z^2<1.

Passo 3

No exterior, em (x,y,z)mid x^2+y^2+z^2>1, f é a função constante igual a 0. Funções constantes são contínuas, portanto f é contínua em toda a região onde x^2+y^2+z^2>1.

Passo 4

Na fronteira , temos . Porém, se nos aproximarmos de um ponto vindo de fora, vale . Assim os limites laterais não coincidem:
Como esses dois limites são diferentes, é descontínua em todo ponto da esfera .

Resposta

f é contínua em (x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<1 e em (x,y,z)mid x^2+y^2+z^2>1, mas é descontínua em toda a superfície x^2+y^2+z^2=1.

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