Estude a existência de pontos de mínimos e máximos locais e pontos de inflexão das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para achar, na função
os pontos de mínimo e máximo locais e os pontos de inflexão. Vamos usar o teste da primeira derivada para extremos locais e o teste da segunda derivada para pontos de inflexão. O domínio é
, ou seja, dois ramos:
e
.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada e obtemos os candidatos a extremos:
Para achar os críticos, resolvemos
Não há solução em
, pois
só dá raiz positiva.
Passo 3
Analisamos o sinal de
em
:
- Para
, dá . - Para
, dá .
Logo,decresce até e cresce depois, caracterizando um mínimo local em
Não há ponto de máximo local em nenhum dos ramos.
Passo 4
Agora a segunda derivada para concavidade e inflexão:
O ponto de inflexão ocorre quando
:
Passo 5
Verificamos mudança de concavidade em
:
- Em
, implica , então (concavidade para cima). - Em
, implica , então (concavidade para baixo).
Como o sinal detroca em , este é um ponto de inflexão.
Resposta
Mínimo local em
(sem máximos locais).
Ponto de inflexão em .
Ponto de inflexão em