Estude a existência de pontos de mínimos e máximos locais e pontos de inflexão das funções abaixo:
f(x)=x^2+1x

Passo 1

O enunciado pede para achar, na função
f(x)=x^2+1x,
os pontos de mínimo e máximo locais e os pontos de inflexão. Vamos usar o teste da primeira derivada para extremos locais e o teste da segunda derivada para pontos de inflexão. O domínio é Rsetminus0, ou seja, dois ramos: (-infty,0) e (0,infty).

Passo 2

Calculamos a primeira derivada e obtemos os candidatos a extremos:
f'(x)=2x-1x^2
Para achar os críticos, resolvemos
f'(x)=0 Longrightarrow 2x-1x^2=0 Longrightarrow 2x^3=1 Longrightarrow x=2^-tfrac13
Não há solução em (-infty,0), pois x^3=1/2 só dá raiz positiva.

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x) em (0,infty):
  • Para 0<x<2^-1/3, 2x<1/x^2 f'(x)<0.
  • Para x>2^-1/3, 2x>1/x^2 f'(x)>0.
    Logo, f decresce até x=2^-1/3 e cresce depois, caracterizando um mínimo local em
xmin=2^-tfrac13
Não há ponto de máximo local em nenhum dos ramos.

Passo 4

Agora a segunda derivada para concavidade e inflexão:
f''(x) =2 + 2x^3
O ponto de inflexão ocorre quando f''(x)=0:
2+2x^3=0 Longrightarrow 1x^3=-1 Longrightarrow x^3=-1 Longrightarrow x=-1

Passo 5

Verificamos mudança de concavidade em x=-1:
  • Em x<-1, x^3< -1 implica 2/x^3>-2, então f''(x)=2+2/x^3>0 (concavidade para cima).
  • Em -1<x<0, x^3>-1 implica 2/x^3<-2, então f''(x)<0 (concavidade para baixo).
    Como o sinal de f'' troca em x=-1, este é um ponto de inflexão.

Resposta

Mínimo local em x=2^-tfrac13 (sem máximos locais).
Ponto de inflexão em x=-1.

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