Escreva na forma trigonométrica e exponencial os números complexos:
z=-2 raiz3-2 i

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever o número complexo z = -2raiz3 - 2i nas formas trigonométrica e exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre representação de números complexos. A forma trigonométrica usa o módulo (a distância do número ao zero no plano complexo) e o argumento (o ângulo que o número forma com o eixo real). Já a forma exponencial é baseada na fórmula de Euler, relacionando números complexos com exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo de z . O módulo de um número complexo z = a + bi é dado por:
|z| = raiza^2 + b^2
Aqui, a = -2raiz3 e b = -2 . Vamos calcular:
|z| = raiz(-2raiz3)^2 + (-2)^2 = raiz4 times 3 + 4 = raiz12 + 4 = raiz16 = 4

Passo 3

Agora, vamos encontrar o argumento de z , que é o ângulo theta formado com o eixo real. A fórmula para o argumento é:
theta = arctan(ba)
Substituindo os valores:
theta = arctan(-2-2raiz3) = arctan(1raiz3)
Sabemos que arctan(1raiz3) = pi6 . Porém, como ambos a e b são negativos, o número está no terceiro quadrante. Portanto, adicionamos pi ao ângulo:
theta = pi6 + pi = 7pi6

Passo 4

Com o módulo e o argumento encontrados, podemos escrever a forma trigonométrica de z :
z = |z| ( costheta + i sintheta )
Substituindo os valores:
z = 4 ( cos(7pi6) + i sin(7pi6) )

Passo 5

Para a forma exponencial, usamos a fórmula de Euler:
z = |z| e^itheta
Substituindo os valores que calculamos:
z = 4 e^i7pi6

Resposta

A representação trigonométrica de z é:
z = 4 ( cos(7pi6) + i sin(7pi6) )
E a representação exponencial de z é:
z = 4 e^i7pi6

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