Discuta a continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=4 x^2+9 y^2, se 4 x^2+9 y^2 <= 1 e f(x, y)=0, se 4 x^2+9 y^2>1

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x,y)=4x^2+9y^2 se ;4x^2+9y^2<=1
e
f(x,y)=0 se ;4x^2+9y^2>1.
O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis definida por partes. Para provar continuidade, vamos analisar cada região (interior da elipse, exterior) e depois a fronteira ;4x^2+9y^2=1.

Passo 2

Na região interior
(x,y)mid4x^2+9y^2<1,
temos f(x,y)=4x^2+9y^2, que é um polinômio em (x,y). Polinômios são contínuos em todo R^2, logo f é contínua em cada ponto com 4x^2+9y^2<1.

Passo 3

Na região exterior
(x,y)mid4x^2+9y^2>1,
temos f(x,y)=0, uma função constante. Toda função constante é contínua, logo f é contínua em cada ponto com 4x^2+9y^2>1.

Passo 4

Agora considere um ponto (x0,y0) na fronteira, isto é,
;4x0^2+9y0^2=1.
Nesse ponto vale
f(x0,y0)=4x0^2+9y0^2=1
Se aproximarmos (x,y)to(x0,y0) sempre vindo do interior da elipse, f(x,y)to1. Mas se aproximarmos vindo do exterior, f(x,y)=0 para todos esses pontos e o limite é 0. Como
lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)
não é único (depende da direção) e, em particular, não coincide com f(x0,y0)=1, concluímos que f é descontínua em cada ponto da fronteira ;4x^2+9y^2=1.

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos com ;4x^2+9y^2neq1 e é descontínua em cada ponto da elipse ;4x^2+9y^2=1.

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