Discuta a continuidade das seguintes funções:
, se
e
, se
Passo 1
O enunciado define a função por partes
se
e
se
.
O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis definida por partes. Para provar continuidade, vamos analisar cada região (interior da elipse, exterior) e depois a fronteira .
e
O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis definida por partes. Para provar continuidade, vamos analisar cada região (interior da elipse, exterior) e depois a fronteira
Passo 2
Na região interior
,
temos , que é um polinômio em
. Polinômios são contínuos em todo
, logo
é contínua em cada ponto com
.
temos
Passo 3
Na região exterior
,
temos , uma função constante. Toda função constante é contínua, logo
é contínua em cada ponto com
.
temos
Passo 4
Agora considere um ponto
na fronteira, isto é,
.
Nesse ponto vale
Nesse ponto vale
Se aproximarmos
sempre vindo do interior da elipse,
. Mas se aproximarmos vindo do exterior,
para todos esses pontos e o limite é
. Como
não é único (depende da direção) e, em particular, não coincide com
, concluímos que
é descontínua em cada ponto da fronteira
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos com
e é descontínua em cada ponto da elipse
.