Discuta a convergência das seqüências abaixo.
a_{n}=\frac{2 n^{2}+3 n+5}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n}=\frac{2 n^{2}+3 n+5}{n^{2}+1},
e pede para “discutir a convergência” dela. Ou seja:
  • identificar se a sequência converge ou diverge;
  • se converge, encontrar o limite;
  • (opcional, mas útil) dar argumentos que justifiquem a convergência de forma rigorosa (por exemplo, prova ɛ–N ou usando monotonicidade e limite inferior/superior).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A fórmula explícita de a_n para cada n natural.
  • Os polinômios no numerador e denominador têm ambos grau 2.

Passo 2

Um raciocínio intuitivo (que depois vamos tornar rigoroso): quando n é grande, os termos de maior grau dominam o comportamento de um polinômio. Aqui o termo dominante do numerador é 2n^{2} e do denominador é n^{2}. Então espera-se que a_n se aproxime de
\frac{2n^{2}}{n^{2}}=2.
Vamos transformar essa ideia em cálculo de limite.

Passo 3

Calcular o limite dividindo numerador e denominador por n^{2} (isso é uma técnica padrão para sequências racionais):
a_n=\frac{2 n^{2}+3 n+5}{n^{2}+1} = \frac{2 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{5}{n^{2}}}{1 + \dfrac{1}{n^{2}}}.
Agora usamos limites elementares: \dfrac{1}{n}\to 0 e \dfrac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty. Portanto, pelo limite de uma razão de funções que convergem,
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{2 + 0 + 0}{1 + 0} = 2.
Isso mostra que a sequência converge e que o seu limite é 2.

Passo 4

Prova ɛ–N (rígida) para fixar a convergência: calcular a diferença em módulo para controlar a aproximação.
\left|a_n-2\right| = \left|\frac{2 n^{2}+3 n+5}{n^{2}+1}-2\right| = \left|\frac{2 n^{2}+3 n+5-2 n^{2}-2}{n^{2}+1}\right| = \frac{3n+3}{n^{2}+1}.
Para n\ge 3 temos n^{2}+1\ge n^{2} e também 3n+3\le 4n (pois 3n+3 = 3n +3 \le 3n + n =4n quando n\ge 3). Então
\left|a_n-2\right| \le \frac{4n}{n^{2}} = \frac{4}{n}.
Dado \varepsilon>0, escolha N tal que N>\max\{3,\tfrac{4}{\varepsilon}\}. Então para todo n\ge N vale \left|a_n-2\right|\le \dfrac{4}{n}\le \dfrac{4}{N}<\varepsilon. Assim satisfazemos a definição ɛ–N: \lim_{n\to\infty}a_n=2. (Isso é uma prova rigorosa de convergência.)

Passo 5

Uma prova alternativa usando monotonicidade + limite inferior (útil para a prova prática):
  1. Mostrar que a_n>2 para todo n: já que
a_n-2=\frac{3n+3}{n^{2}+1}>0
para todo n\ge1, temos a_n>2 sempre. Assim 2 é uma cota inferior.
  1. Mostrar que a sequência é estritamente decrescente para n\ge1. Considere a função contínua
f(x)=\frac{2x^{2}+3x+5}{x^{2}+1},\qquad x>0.
Calcule a derivada:
f'(x)=\frac{(4x+3)(x^{2}+1)-2x(2x^{2}+3x+5)}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{-3x^{2}-6x+3}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{-3(x^{2}+2x-1)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Para x\ge1 temos x^{2}+2x-1>0, logo f'(x)<0 para todo x\ge1. Isso mostra que f é decrescente em [1,\infty); portanto a sequência a_n=f(n) é estritamente decrescente para n\ge1.
  1. Conclusão por monotone convergence theorem: uma sequência que é decrescente e limitada inferiormente converge. Já que a_n é decrescente e a_n>2, ela converge; e pelo Passo 3 o limite é 2. Assim obtemos a mesma conclusão por outro caminho.

Passo 6

Resumo didático do que usar na prova de prova/na prova da faculdade:
  • Técnica rápida: comparar graus dos polinômios (termos dominantes) ou dividir por n^{2} e aplicar que 1/n\to0.
  • Prova ɛ–N: obter uma estimativa do tipo |a_n-L|\le \text{(algo que vai a }0) e escolher N conforme \varepsilon.
  • Alternativa estrutural: mostrar monotonicidade e limitar por cima/baixo para aplicar o teorema da convergência monótona (útil quando não quer fazer cálculo ɛ–N).
    Boa! Isso já te dá três modos de justificar que a sequência converge para 2. Vai tranquilo pra prova — foca em dividir pelo maior grau e controlar os termos menores.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=2.
A sequência é estritamente decrescente para n\ge1 e limitada inferiormente por 2, portanto converge para 2.

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