Discuta a convergência das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que se discuta a convergência (se converge, se diverge, e se converge absolutamente ou condicionalmente). Informação importante extraída do enunciado:
- A expressão
é o logaritmo de na base . - Para
tem-se , portanto o termo correspondente fica indefinido; isso indica que a série, tal como escrita começando em , não está bem definida. - Assim, é natural interpretar a série começando em
, i.e.
e discutir a convergência desta série.
Passo 2
Reescrevendo a expressão com logaritmo natural para manipular melhor:
logo os termos da série (para
) valem
Definimos a parte positiva (magnitude) como
Nota:
é constante; a natureza (decrescimento e limite) de
depende apenas de
.
Passo 3
Verificar as condições do teste da série alternada (teste de Leibniz), que garante convergência se:
-
para todo grande; -
(sequência não crescente, i.e. monotonicidade decrescente a partir de algum ); -
.
Checagem:
- Para
, . - Monotonicidade: como
é estritamente crescente para , tem-se , então
Portanto
é estritamente decrescente para
.
- Limite: como
quando , segue
Assim, todas as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas para
.
Passo 4
Pelo teste de Leibniz (séries alternadas), a série
converge. Ou seja, a série alternada converge (há convergência condicional ou absoluta, a decidir ainda).
Passo 5
Testar convergência absoluta: analisar
Queremos ver se
converge ou diverge. Usaremos o teste de condensação de Cauchy (é prático e rigoroso quando a sequência é decrescente):
Teorema (Cauchy: condensação). Se
é positiva e decrescente em
, então
converge se, e só se,
converge.
Aplicando com
(positiva e decrescente para
):
Os termos
não tendem a zero (na verdade crescem geometricamente divididos por
), logo a série
diverge (cada termo não tende a zero, portanto soma divergente). Pelo teorema de condensação,
diverge. Multiplicar por
não muda a divergência, então
diverge.
Observação alternativa rápida: também se pode usar o teste da integral ou outras comparações para ver que
diverge (a integral
diverge, por exemplo).
Passo 6
Conclusão combinada:
- A série alternada
converge (pelo teste de Leibniz). - A série de termos absolutos
diverge (pelo teste de condensação de Cauchy), portanto a convergência não é absoluta. - Logo a série converge condicionalmente.
Além disso, nota importante sobre o enunciado original: como
, o termo
é indefinido; a discussão acima supõe que a série é tomada a partir de
, que é a interpretação coerente.
Resposta
A série, interpretada a partir de
, converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).