Discuta a convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\log _{3} n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\log_{3} n}
e pede que se discuta a convergência (se converge, se diverge, e se converge absolutamente ou condicionalmente). Informação importante extraída do enunciado:
  • A expressão \log_{3} n é o logaritmo de n na base 3.
  • Para n=1 tem-se \log_{3}1=0, portanto o termo correspondente fica indefinido; isso indica que a série, tal como escrita começando em n=1, não está bem definida.
  • Assim, é natural interpretar a série começando em n=2, i.e.
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\log_{3} n},
e discutir a convergência desta série.

Passo 2

Reescrevendo a expressão com logaritmo natural para manipular melhor:
\log_{3} n=\frac{\ln n}{\ln 3},
logo os termos da série (para n\ge2) valem
a_n=\frac{(-1)^n}{\log_{3} n} = \frac{(-1)^n \ln 3}{\ln n}.
Definimos a parte positiva (magnitude) como
b_n=\frac{\ln 3}{\ln n}=\frac{1}{\log_{3} n}\qquad (n\ge2).
Nota: \ln 3>0 é constante; a natureza (decrescimento e limite) de b_n depende apenas de \ln n.

Passo 3

Verificar as condições do teste da série alternada (teste de Leibniz), que garante convergência se:
  1. b_n\ge0 para todo n grande;
  2. b_{n+1}\le b_n (sequência não crescente, i.e. monotonicidade decrescente a partir de algum N);
  3. \lim_{n\to\infty} b_n=0.
Checagem:
  • Para n\ge2, b_n=\dfrac{\ln 3}{\ln n}>0.
  • Monotonicidade: como n\mapsto \ln n é estritamente crescente para n\ge2, tem-se \ln(n+1)>\ln n, então
b_{n+1}=\frac{\ln 3}{\ln(n+1)}<\frac{\ln 3}{\ln n}=b_n.
Portanto (b_n) é estritamente decrescente para n\ge2.
  • Limite: como \ln n\to\infty quando n\to\infty, segue
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\ln 3}{\ln n}=0.
Assim, todas as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas para n\ge2.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz (séries alternadas), a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n b_n=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\log_{3} n}
converge. Ou seja, a série alternada converge (há convergência condicional ou absoluta, a decidir ainda).

Passo 5

Testar convergência absoluta: analisar
\sum_{n=2}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\log_{3} n}=\ln 3\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n}.
Queremos ver se \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{\ln n} converge ou diverge. Usaremos o teste de condensação de Cauchy (é prático e rigoroso quando a sequência é decrescente):
Teorema (Cauchy: condensação). Se (b_n) é positiva e decrescente em n, então \sum_{n=1}^\infty b_n converge se, e só se, \sum_{k=1}^\infty 2^k b_{2^k} converge.
Aplicando com b_n=\dfrac{1}{\ln n} (positiva e decrescente para n\ge2):
2^k b_{2^k} = \frac{2^k}{\ln(2^k)}=\frac{2^k}{k\ln 2}.
Os termos \dfrac{2^k}{k\ln 2} não tendem a zero (na verdade crescem geometricamente divididos por k), logo a série \sum_{k=1}^\infty 2^k b_{2^k} diverge (cada termo não tende a zero, portanto soma divergente). Pelo teorema de condensação, \sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{\ln n} diverge. Multiplicar por \ln 3 não muda a divergência, então
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\log_{3} n}
diverge.
Observação alternativa rápida: também se pode usar o teste da integral ou outras comparações para ver que \sum 1/\ln n diverge (a integral \int_2^\infty \dfrac{1}{\ln x}\,dx diverge, por exemplo).

Passo 6

Conclusão combinada:
  • A série alternada \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{\log_{3} n} converge (pelo teste de Leibniz).
  • A série de termos absolutos \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{\log_{3} n} diverge (pelo teste de condensação de Cauchy), portanto a convergência não é absoluta.
  • Logo a série converge condicionalmente.
Além disso, nota importante sobre o enunciado original: como \log_{3}1=0, o termo n=1 é indefinido; a discussão acima supõe que a série é tomada a partir de n=2, que é a interpretação coerente.

Resposta

A série, interpretada a partir de n=2, converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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