Discuta e exemplifique casos em que as superfícies de isopressão não seriam planas em problemas de hidrostática.

Passo 1

O enunciado pede para discutir situações em problemas de hidrostática em que as superfícies de isopressão (isto é, as superfícies em que p é constante) não sejam planas. Em hidrostática usual, com um campo de gravidade uniforme \mathbf{g}=-g\,\mathbf{e}_z e fluido incompressível de massa específica \rho, as isopressões são planos horizontais. Para encontrar casos em que elas se curvam ou se inclinam, vamos considerar situações em que o campo de forças de corpo efetivo ou a própria densidade não sejam uniformes.

Passo 2

Consideremos um fluido em um recipiente acelerado com aceleração constante \mathbf{a}. O campo de força efetivo por unidade de massa fica
\mathbf{g}_\text{eff} = \mathbf{g} - \mathbf{a}.
A condição de equilíbrio hidrostático é
\nabla p = \rho\,\mathbf{g}_\text{eff}.
Como \mathbf{g}_\text{eff} não está alinhado verticalmente, as superfícies de p=\text{constante} são planos ortogonais a \mathbf{g}_\text{eff}, isto é, inclinados em relação à horizontal. Exemplo prático: em um carro freando, a superfície livre do líquido se inclina para frente.

Passo 3

No caso de um fluido em rotação sólida com velocidade angular \omega em torno do eixo z, o potencial de forças de corpo efetivo é
\Phi(r,z) = gz - \tfrac12\,\omega^2\,r^2.
Do equilíbrio \nabla p = \rho\,\nabla(-\Phi) segue que a superfície livre satisfaz
p=\text{constante}\;\Longrightarrow\;z(r)=\frac{\omega^2}{2g}\,r^2 + \text{constante},
ou seja, é um paraboloide de revolução, não um plano.

Passo 4

Quando a massa específica \rho varia espacialmente (por exemplo, estratificação térmica ou salinidade em oceanografia), a equação de equilíbrio
\nabla p = \rho(\mathbf{r})\,\mathbf{g}
faz com que as isopressões se adaptem às variações de \rho. Na atmosfera, por exemplo, as superfícies de pressão constante (isobaras) seguem superfícies geopotenciais, que não são estritamente planas devido à rotação terrestre e à variação de densidade com altitude.

Passo 5

Em escalas capilares, existe também a tensão superficial que gera diferenças de pressão através de interfaces curvas. A condição de Laplace é
\Delta p = \gamma\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right),
onde \gamma é a tensão superficial e R_1,R_2 os raios de curvatura. A própria interface (por exemplo, o menisco) assume forma curva, e as superfícies de isopressão adjacentes acompanham essa curvatura.

Resposta

As superfícies de isopressão não são planas quando
(a) o campo de força efetivo \mathbf{g}-\mathbf{a} não é vertical, gerando planos inclinados (recipiente acelerado);
(b) o fluido está em rotação sólida, produzindo uma superfície parabólica;
(c) a densidade \rho varia no espaço (estratificação), levando a isobaras que seguem geopotenciais;
(d) surgem efeitos capilares, onde a tensão superficial impõe interfaces curvas.

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