Um escoamento plano é descrito pelo perfil de velocidade
\vec{V}=4 y \vec{i}+2 x t \vec{j},
onde as variáveis x e y são medidas em metros e o tempo t em segundos, resultando em velocidade \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}.
Determine a aceleração do escoamento no ponto (1,1) no instante \mathbf{t}=\mathbf{1 , 0 ~ s}

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade de um escoamento plano
\vec{V}(x,y,t) = 4\,y\,\vec{i} \;+\; 2\,x\,t\,\vec{j}
e pede a aceleração material (total) no ponto (x,y)=(1,1) no instante t=1{,}0\\ \mathrm{s}.
Para escoamentos, a aceleração total é dada pela derivada material
\vec{a} = \frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} \;+\; (\vec{V}\cdot\nabla)\,\vec{V}.

Passo 2

Calcular a derivada parcial em relação ao tempo:
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(4y\,\vec{i} + 2xt\,\vec{j}\bigr) = 0\,\vec{i} + 2x\,\vec{j}.
No ponto (1,1), isso vale
\left.\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}\right|_{(1,1,\,t=1)} = 0\,\vec{i} + 2\cdot1\,\vec{j} = 0\,\vec{i} + 2\,\vec{j}.

Passo 3

Calcular o termo convectivo (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}. Primeiro identificamos as componentes:
u=4y,\quad v=2xt.
As derivadas parciais são
\frac{\partial u}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=4, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=2t,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=0.
Logo
(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} =\bigl(u\,\partial_x u + v\,\partial_y u\bigr)\vec{i} +\bigl(u\,\partial_x v + v\,\partial_y v\bigr)\vec{j}.
Substituindo:
a_x^{\rm conv} = 4y\cdot0 + 2xt\cdot4 = 8\,x\,t, \quad a_y^{\rm conv} = 4y\cdot2t + 2xt\cdot0 = 8\,y\,t.
No ponto (1,1) e t=1 temos
a_x^{\rm conv}=8\cdot1\cdot1=8, \quad a_y^{\rm conv}=8\cdot1\cdot1=8,
ou seja
(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} = 8\,\vec{i} + 8\,\vec{j}.

Passo 4

Somando as contribuições temporal e convectiva:
\vec{a} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} = (0\,\vec{i}+2\,\vec{j}) + (8\,\vec{i}+8\,\vec{j}) = 8\,\vec{i} + 10\,\vec{j}.

Resposta

\displaystyle \vec{a}(1,1,1{,}0\\ \mathrm{s}) = 8\,\vec{i} + 10\,\vec{j}\quad[\mathrm{m/s^2}]

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