Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique!
(a) (A, B) \in \overrightarrow{A B};
(b) (A, B) \sim(C, D) \Longleftrightarrow \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D};
(c) \|\overrightarrow{A B}\|=\|\overrightarrow{C D}\| \Rightarrow \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D};
(d) \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} \Rightarrow A C \cap B D=\emptyset.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre pares ordenados (A,B), vetores \overrightarrow{AB}, norma \|\overrightarrow{AB}\| e interseção de segmentos é verdadeira ou falsa. Vamos usar:
– Definição de vetor como classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes (mesma direção, sentido e comprimento).
– Relação de equivalência \sim entre pares (A,B).
– Propriedades de comprimento e direção de vetores.

Passo 2

(a) Queremos ver se (A,B)\in\overrightarrow{AB}. Por definição \overrightarrow{AB} é o conjunto de todos os pares (X,Y) tais que o segmento orientado XY é equipolente a AB. Como (A,B) obviamente satisfaz essa condição, temos
(A,B)\in\overrightarrow{AB}.
Logo (a) é verdadeira.

Passo 3

(b) A relação (A,B)\sim(C,D) é justamente a definição de equipolência: segmentos AB e CD têm mesma direção, sentido e comprimento. Isso equivale a dizer que pertencem à mesma classe de vetores, ou seja
(A,B)\sim(C,D)\quad\Longleftrightarrow\quad\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.
Portanto (b) é verdadeira.

Passo 4

(c) Se \|\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{CD}\| então só sabemos que os comprimentos de AB e CD coincidem. Não há garantia sobre direção ou sentido. Por exemplo, tome
A=(0,0),\\ B=(1,0),\quad C=(0,0),\\ D=(0,1).
Então \|\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{CD}\|=1, mas \overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{CD} pois têm direções diferentes.
Logo (c) é falsa.

Passo 5

(d) Se \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} então AB é paralelo e igual em comprimento e sentido a CD. Isso faz de ABCD um paralelogramo, cujas diagonais AC e BD se cruzam justamente no seu centro. Em particular
AC\cap BD\neq\emptyset.
Mas a afirmação dizia que essa interseção seria vazia, o que está errado.
Portanto (d) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa

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