Prove que \vec{u}=2 \vec{v}+\vec{w} \Rightarrow \vec{v}=(\vec{u}-\vec{w}) / 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação em um espaço vetorial \vec{u}=2\vec{v}+\vec{w}
e pede para isolar \vec{v}. Vamos usar duas propriedades básicas de vetores: (1) a existência de inverso aditivo para subtrair \vec{w} dos dois lados e (2) a compatibilidade da multiplicação por escalar para dividir por 2.

Passo 2

Subtraímos \vec{w} em ambos os lados da igualdade, usando o inverso aditivo -\vec{w}:
\vec{u}-\vec{w} \;=\; 2\vec{v}+\vec{w}-\vec{w} \;\Longrightarrow\; \vec{u}-\vec{w} \;=\; 2\vec{v}.

Passo 3

Agora aplicamos o escalar \tfrac12 em ambos os lados. Pela propriedade \tfrac12\,(2\vec{v})=\vec{v}, obtemos
\tfrac12\,(\vec{u}-\vec{w}) \;=\;\tfrac12\,(2\vec{v}) \;\Longrightarrow\; \vec{v} \;=\;\tfrac{\vec{u}-\vec{w}}{2}.

Resposta

\displaystyle \vec{v}=\frac{\vec{u}-\vec{w}}{2}.

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