Discuta em função dos parâmetros os seguintes sistemas
lx+4 y+3 z=10 2 x+7 y-2 z=10 x+5 y+alpha z=beta

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetros
O conteúdo é classificação de sistemas lineares via determinante da matriz dos coeficientes e o Teorema de Rouché–Capelli (ranks). Vamos precisar calcular (\det A] e depois comparar o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz ampliada.

Passo 2

Chamando
A = 1 & 4 & 3 2 & 7 & -2 1 & 5 & alpha ,
calculamos
det A =1cdot7 & -25 & alpha -4cdot2 & -21 & alpha +3cdot2 & 71 & 5
Cada menor é
7 & -25 & alpha=7alpha+10, 2 & -21 & alpha=2alpha+2, 2 & 71 & 5=10-7=3
Logo
det A = (7alpha+10) -4(2alpha+2) +3cdot3 =7alpha+10 -8alpha-8 +9 =11-alpha

Passo 3

Se alphaneq11, então det Aneq0 e pelo Teorema de Cramer o sistema tem solução única.

Passo 4

Agora suponha alpha=11. Então det A=0, o posto de A é no máximo 2. Verificamos que a submatriz formada pelas duas primeiras equações (top-left 2times 2) tem determinante -1 neq 0, então rank(A)=2. Para haver soluções, a matriz ampliada
l(A mid br) = 1 & 4 & 3 & 10 2 & 7 & -2 & 10 1 & 5 & 11 & beta
deve ter o mesmo posto, i.e.\ a terceira linha deve ser combinação linear das duas primeiras. Buscamos mu, nu tais que
mu(1,4,3) + nu(2,7,-2) = (1,5,11)
Resolvendo
mu + 2nu = 1, 4mu + 7nu = 5, 3mu - 2nu = 11
vem mu=3 e nu=-1, que satisfaz também a terceira equação. Para o vetor de termos constantes isso implica
3 cdot 10 + (-1) cdot 10 = 20,
ou seja, é necessário beta=20 para consistência.

Passo 5

Concluímos:
  • Se alphaneq11, há solução única.
  • Se alpha=11 e beta=20, rank(A)=rank(Amid b)=2<3, logo infinitas soluções.
  • Se alpha=11 e betaneq20, rank(A)=2<3=rank(Amid b), logo sistema incompatível.

Resposta

Para o sistema dado:
  • alphaneq11: solução única.
  • alpha=11 e beta=20: infinitas soluções.
  • alpha=11 e betaneq20: sem solução.

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