Questão 6.

Seja k um número real positivo fixo. Considere F=R^2=(x, y) mid x, y in R o conjunto dos pares ordenados de números reais, munido das seguintes operações:
(x, y)+(z, w)=(x+z, y+w), (x, y)(z, w)=(x z-k y w, x w+y z)
Prove que F é um corpo.

Passo 1

O enunciado define em R^2 as operações\r
(x,y)+(z,w)=(x+z,;y+w),
(x,y)cdot(z,w)=(x z - k,y w,;x w + y z), \r
com k>0. Queremos mostrar que l(R^2,+,cdotr) é um corpo, ou seja, um anel comutativo com unidade em que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.

Passo 2

Mostramos que l(R^2,+r) é grupo abeliano:\r
  • (Fechamento) Se (x,y),(z,w)inR^2 então (x+z,y+w)inR^2. \r
  • (Associatividade) l((x,y)+(z,w)r)+(u,v)=(x+z+u,;y+w+v)=(x,y)+l((z,w)+(u,v)r). \r
  • (Elemento neutro) (0,0)+(x,y)=(x,y). \r
  • (Inverse aditivo) (x,y)+(-x,-y)=(0,0). \r
  • (Comutatividade) (x,y)+(z,w)=(z,w)+(x,y).

Passo 3

Mostramos que l(R^2,cdotr) é um monoide comutativo de unidade (1,0):\r
  • (Fechamento) Se (x,y),(z,w)inR^2, então (x z -k y w,;x w + y z)inR^2. \r
  • (Associatividade) Calcula-se\r
    l((x,y)cdot(z,w)r)cdot(u,v) e (x,y)cdotl((z,w)cdot(u,v)r) coordenada a coordenada, usando associatividade e distributividade em R, e verifica-se que coincidem. \r
  • (Elemento neutro) (1,0)cdot(x,y)=(1cdot x -kcdot0cdot y,;1cdot y+0cdot x)=(x,y) e simetricamente do outro lado. \r
  • (Comutatividade) Pois \r
    x z -k y w = z x -k,w y e \r
    x w + y z = z y + w x.

Passo 4

Verificamos a distributividade: para quaisquer (x,y),(z,w),(u,v), \r
(x,y)cdotl((z,w)+(u,v)r) =(x,y)cdot(z+u,;w+v) =(x(z+u)-k,y(w+v),;x(w+v)+y(z+u)) \r
que, ao expandir e reagrupar, dá exatamente\r
(xz-kyw + x u-kyv,;xw+yz + xv+yu)
=l(x,yr)cdot(z,w);+;l(x,yr)cdot(u,v)

Passo 5

Dado \r
isto é,\r
\r
O determinante desse sistema é \r
e nem ambos são zero, segue , logo há solução única\r
\r
Esse satisfaz , logo é o inverso multiplicativo de .

Resposta

Portanto, F=(R^2,+,cdot) satisfaz todos os axiomas de corpo: é um anel comutativo com identidade e todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Assim, F é um corpo.

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