Questão 6.
Seja
um número real positivo fixo. Considere
o conjunto dos pares ordenados de números reais, munido das seguintes operações:
Prove que
é um corpo.
Passo 1
O enunciado define em
as operações\r
com
. Queremos mostrar que
é um corpo, ou seja, um anel comutativo com unidade em que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.
Passo 2
Mostramos que
é grupo abeliano:\r
- (Fechamento) Se
então . \r - (Associatividade)
. \r - (Elemento neutro)
. \r - (Inverse aditivo)
. \r - (Comutatividade)
.
Passo 3
Mostramos que
é um monoide comutativo de unidade
:\r
- (Fechamento) Se
, então . \r - (Associatividade) Calcula-se\r
e coordenada a coordenada, usando associatividade e distributividade em , e verifica-se que coincidem. \r - (Elemento neutro)
e simetricamente do outro lado. \r - (Comutatividade) Pois \r
e \r
.
Passo 4
Verificamos a distributividade: para quaisquer
, \r
que, ao expandir e reagrupar, dá exatamente\r
Passo 5
Dado \r
isto é,\r
O determinante desse sistema é \r
e nem ambos são zero, segue
, logo há solução única\r
e nem ambos
Esse
satisfaz
, logo é o inverso multiplicativo de
.
Resposta
Portanto,
satisfaz todos os axiomas de corpo: é um anel comutativo com identidade e todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Assim,
é um corpo.