Resolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares:
x3+x4+x5 & =0 -x1-x2+2 x3-3 x4+x5 & =0 x1+x2-2 x3- & x5=0 2 x1+2 x2-x3+ & x5=0

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de quatro equações lineares em cinco incógnitas (x1,x2,x3,x4,x5). O objetivo é encontrar o espaço de soluções, que será descrito em função de parâmetros livres. Para isso vamos usar o método de eliminação (ou substituição) entre as equações.

Passo 2

Da terceira equação
x1 + x2 - 2x3 - x5 = 0
segue que
x1 + x2 = 2x3 + x5
Substituindo esse resultado na quarta equação
2x1 + 2x2 - x3 + x5 = 0
escrevemos
2(x1 + x2) - x3 + x5 = 0,
e usando x1 + x2 = 2x3 + x5 obtemos
2(2x3 + x5) - x3 + x5 = 0 ;Longrightarrow; 4x3 + 2x5 - x3 + x5 = 0 ;Longrightarrow; 3x3 + 3x5 = 0 ;Longrightarrow; x3 + x5 = 0

Passo 3

Da primeira equação
x3 + x4 + x5 = 0
e usando x5 = -x3 resulta
x3 + x4 - x3 = 0 ;Longrightarrow; x4 = 0

Passo 4

Na segunda equação
-,x1 - x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0
substituímos x4=0 e x5=-x3, obtendo
-,x1 - x2 + 2x3 - x3 = 0 ;Longrightarrow; -,x1 - x2 + x3 = 0 ;Longrightarrow; x1 + x2 = x3
Essa mesma relação já vinha da equação (3) ao usar x5=-x3. Logo, podemos tomar x2 e x3 como parâmetros livres. Definindo
x2 = s, x3 = t,
temos
x1 = x3 - x2 = t - s, x4 = 0, x5 = -t

Passo 5

Escrevendo em forma vetorial paramétrica,
(x1,x2,x3,x4,x5) = (t - s,,s,,t,,0,,-t) = s(-1,,1,,0,,0,,0) ;+; t(1,,0,,1,,0,,-1)

Resposta

,s(-1,1,0,0,0)+t(1,0,1,0,-1)mid s,tinR

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