Resolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares:
c2 x-y-3 z=0 -x+2 y-3 z=0 x+y+4 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares homogêneas juntos! O que temos aqui é um conjunto de três equações com três incógnitas: x, y e z. O conteúdo que vamos usar é de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas de equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos como a eliminação de variáveis e a substituição, além de entender um pouco sobre matrizes se for necessário. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que temos de uma forma mais clara:
2x - y - 3z = 0 (1) - x + 2y - 3z = 0 (2) x + y + 4z = 0 (3)
Tudo bem, agora nosso objetivo é encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas essas equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos começar a eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vou optar por eliminar o x. Para isso, podemos multiplicar a equação (3) por 1 e adicioná-la à equação (2).
Primeiro, escrevemos a equação (3):
x + y + 4z = 0 (3)
Agora, somamos essa equação com a equação (2):
(-x + 2y - 3z) + (x + y + 4z) = 0 + 0
Simplificando:
(-x + x) + (2y + y) + (-3z + 4z) = 0
0x + 3y + z = 0 (4)
Agora, temos uma nova equação (4) sem o x.

Passo 4

Vamos agora eliminar o x usando as equações (1) e (3). Podemos multiplicar a equação (3) por 2 e subtrair a equação (1):
Multiplicando a equação (3) por 2:
2(x + y + 4z) = 2 times 0 Rightarrow 2x + 2y + 8z = 0 (5)
Agora, subtraindo a equação (1):
(2x + 2y + 8z) - (2x - y - 3z) = 0 - 0
Simplificando:
2x - 2x + 2y + y + 8z + 3z = 0
0x + 3y + 11z = 0 (6)
Agora, temos a equação (6) também sem o x.

Passo 5

Agora, temos as equações (4) e (6) que envolvem apenas [y) e :
Vamos subtrair a equação (4) da equação (6) para eliminar (y]:
Simplificando:
Com , podemos substituir na equação (4) para encontrar :

Passo 6

Agora que sabemos que y = 0 e z = 0, vamos substituir esses valores na equação (3) para encontrar x:
x + 0 + 4(0) = 0 Rightarrow x = 0

Resposta

A única solução para o sistema é x = 0, y = 0 e z = 0. Ou seja, a solução é o vetor nulo (0, 0, 0).

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