Questão 7.

Os quaternions são a estrutura composta por combinações formais de números reais e símbolos i, j e k , ou seja, composições do tipo a+b i+c j+d k, munidos das seguintes operações:
(a+b i+c j+d k)+(e+f i+g j+h k)=(a+e)+(b+f) i+(c+g) j+(d+h) k
e
(a+b i+c j+d k) cdot(e+f i+g j+h k)= & (a e-b f-c g-d h) & +(a f+b e+c h-d g) i & +(a g-b h+c e+d f) j & +(a h+b g-c f+d e) k
(a) Compute a tabela de multiplicação para i, j e k:
l|lll $cdot$ & i & j & k hline i & & & j & & & k & & & i j k
i
j
k
(Na entrada que aparece na linha que inicia com x e coluna que inicia com y, escreva o resultado do produto x y ).
(b) Quais dos axiomas de corpo os quaternions satisfazem?

Passo 1

O enunciado define os quaternions como combinações formais
a+b,i+c,j+d,k
com regras de soma e produto dadas. Pede em (a) a tabela de multiplicação de i,j,k e em (b) determinar quais axiomas de corpo (field) os quaternions satisfazem.

Passo 2

Relembramos as relações fundamentais dos quatérnios:
i^2=j^2=k^2=-1, ij=k, jk=i, ki=j,
e a anticomutatividade
ji=-k, kj=-i, ik=-j

Passo 3

Usando essas regras, preenchemos a tabela 3times3 para o produto x y:
cdot i j k
i -1 k -j
j -k -1 i
k j -i -1

Passo 4

Para verificar os axiomas de corpo, lembramos que é necessário:
  1. associatividade da soma e do produto,
  2. existência de elemento neutro aditivo ( 0) e multiplicativo ( 1),
  3. existência de inversos aditivos (negativos) e multiplicativos (para todo elemento não-nulo),
  4. distributividade do produto sobre a soma,
  5. comutatividade da soma e do produto.
Nos quaternions:
  • soma e produto são associativos;
  • há neutros 0 e 1;
  • todo quaternion não-nulo tem inverso multiplicativo;
  • o produto é distributivo sobre a soma;
  • a soma é comutativa;
  • porém, o produto não é comutativo ( ijneqji).

Resposta

(a)
cdot i j k
i -1 k -j
j -k -1 i
k j -i -1
(b) Os quaternions satisfazem todos os axiomas de corpo exceto a comutatividade do produto. Assim, formam um anel de divisão não comutativo (skew-field).

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