Questão 7.
Os quaternions são a estrutura composta por combinações formais de números reais e símbolos
e k , ou seja, composições do tipo
, munidos das seguintes operações:
e
(a) Compute a tabela de multiplicação para i, j e k:
i
j
k
i
j
k
(Na entrada que aparece na linha que inicia com
e coluna que inicia com
, escreva o resultado do produto
).
(b) Quais dos axiomas de corpo os quaternions satisfazem?
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i | j | k |
i | |||
j | |||
k |
(b) Quais dos axiomas de corpo os quaternions satisfazem?
Passo 1
O enunciado define os quaternions como combinações formais
com regras de soma e produto dadas. Pede em (a) a tabela de multiplicação de
e em (b) determinar quais axiomas de corpo (field) os quaternions satisfazem.
Passo 2
Relembramos as relações fundamentais dos quatérnios:
e a anticomutatividade
Passo 3
Usando essas regras, preenchemos a tabela
para o produto
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Passo 4
Para verificar os axiomas de corpo, lembramos que é necessário:
- associatividade da soma e do produto,
- existência de elemento neutro aditivo (
) e multiplicativo ( ), - existência de inversos aditivos (negativos) e multiplicativos (para todo elemento não-nulo),
- distributividade do produto sobre a soma,
- comutatividade da soma e do produto.
Nos quaternions:
- soma e produto são associativos;
- há neutros
e ; - todo quaternion não-nulo tem inverso multiplicativo;
- o produto é distributivo sobre a soma;
- a soma é comutativa;
- porém, o produto não é comutativo (
).
Resposta
(a)
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(b) Os quaternions satisfazem todos os axiomas de corpo exceto a comutatividade do produto. Assim, formam um anel de divisão não comutativo (skew-field).