Discuta, para a \in \mathbb{R}, o grau do polinômio f(x) :
f(x)=a x^{2}+2 a x+9

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio \displaystyle f(x)=a x^{2}+2a x+9
com parâmetro a\in\mathbb{R} e pede para discutir o grau de f. Para isso, lembramos que o grau de um polinômio é o maior expoente de x cujo coeficiente seja diferente de zero.

Passo 2

Suponha que a\neq 0. Nesse caso, o coeficiente de x^{2} é a\neq 0, de modo que a maior potência de x com coeficiente não-nulo é 2. Portanto, se a\neq 0,
\deg f = 2.

Passo 3

Suponha agora que a=0. Substituindo em f, obtemos
f(x)=0\cdot x^{2}+2\cdot0\cdot x+9=9,
que é um polinômio constante não-nulo. Para polinômios constantes não-nulos, o grau é 0. Logo, se a=0,
\deg f = 0.

Resposta

Para a\in\mathbb{R}, o grau de f é
\deg f = \begin{cases} 2, & \text{se }a\neq 0,\\\\ 0, & \text{se }a=0. \end{cases}

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