Resolva os limites dos exercicios 11-18.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{6}-\sqrt{5 h^{2}+11 h+6}}{h}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5h^{2}+11h+6}}{h},
que é um problema de cálculo de limites envolvendo diferença de raízes. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização do numerador, que consiste em multiplicar e dividir pela conjugada.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos pela conjugada \sqrt{6}+\sqrt{5h^{2}+11h+6}:
\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5h^{2}+11h+6}}{h} \;\times\; \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5h^{2}+11h+6}}{\sqrt{6}+\sqrt{5h^{2}+11h+6}} = \frac{6 - \bigl(5h^{2}+11h+6\bigr)}{h\bigl(\sqrt{6}+\sqrt{5h^{2}+11h+6}\bigr)}.

Passo 3

No numerador temos
6 - (5h^{2}+11h+6) = -5h^{2}-11h = -h(5h+11).
Logo a expressão fica
\frac{-h(5h+11)}{h\bigl(\sqrt{6}+\sqrt{5h^{2}+11h+6}\bigr)} =\frac{-(5h+11)}{\sqrt{6}+\sqrt{5h^{2}+11h+6}}.

Passo 4

Agora fazemos h \to 0. No denominador both raízes tendem a \sqrt{6}, então
\lim_{h\to0}\frac{-(5h+11)}{\sqrt{6}+\sqrt{5h^{2}+11h+6}} =\frac{-11}{\sqrt{6}+\sqrt{6}} =\frac{-11}{2\sqrt{6}}.

Resposta

\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5h^{2}+11h+6}}{h} =-\frac{11}{2\sqrt{6}}.

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