Questão 4 (CESGRANRIO - Técnico Bancário Novo - CEF). Um empréstimo deve ser pago pelo sistema SAC em 5 parcelas mensais com juros de
a.m. Se a terceira parcela paga no financiamento do empréstimo for igual a
26.160,00$, o valor total do empréstimo, em reais, será de
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O empréstimo será pago pelo sistema SAC em
parcelas mensais. - A taxa de juros é de
ao mês, ou seja, . - A terceira parcela (pagamento número
) vale .
O que o enunciado pede: determinar o valor total do empréstimo (ou seja, o capital inicial).
Passo 2
Explicando o sistema SAC (amortização constante) de forma didática e passo a passo.
- No SAC a parcela de amortização é constante em todas as prestações. Se o capital inicial for
e o número de parcelas for , a amortização constante é
onde
é a parte do principal paga em cada parcela. Aqui
, então
.
- Em cada parcela paga há dois componentes: a amortização
e os juros sobre o saldo devedor antes do pagamento. Os juros do período são calculados sobre o saldo imediatamente antes do pagamento .
Passo 3
Expressando o saldo devedor antes da
-ésima parcela.
- Depois de pagas as primeiras
amortizações, o saldo devedor imediatamente antes da -ésima parcela é
Isso porque a cada parcela paga já se abatidos
parcelas de amortização do capital inicial.
- Os juros cobrados na
-ésima parcela são vezes esse saldo:
Passo 4
Fórmula da
-ésima prestação no SAC e interpretação das variáveis.
- A prestação (parcela)
é a soma da amortização com os juros :
Aqui:
-
é o valor da -ésima parcela; -
é a amortização constante; -
é a taxa de juros por período; -
é o capital inicial (o que queremos achar); -
é o índice da parcela (no nosso caso ).
Passo 5
Aplicando a fórmula para a terceira parcela (
), com
e
.
- Primeiro escrevo
. - Substituo em
:
- Simplifico passo a passo:
Logo
- Como
, obtemos
Passo 6
Usando o valor numérico da terceira parcela para encontrar
.
- Sabemos que
. Então
- Isolando
:
- Faço as contas de cabeça/à mão:
. Agora divido por . Observando que , segue que
Passo 7
Verificação rápida (checar se bate):
- Amortização
. - Saldo antes da 3ª parcela:
. - Juros na 3ª parcela:
. - Parcela 3:
, que é exatamente o valor dado. Portanto cálculo consistente.
Resposta
A)