Questão 4 (CESGRANRIO - Técnico Bancário Novo - CEF). Um empréstimo deve ser pago pelo sistema SAC em 5 parcelas mensais com juros de 3 \% a.m. Se a terceira parcela paga no financiamento do empréstimo for igual a \mathrm{R} \ 26.160,00$, o valor total do empréstimo, em reais, será de
A) 120.000,00
B) 124.000,00
C) 128.500,00
D) 132.800,00
E) 135.600,00

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O empréstimo será pago pelo sistema SAC em 5 parcelas mensais.
  • A taxa de juros é de 3\% ao mês, ou seja, i=0,03.
  • A terceira parcela (pagamento número 3) vale \mathrm{R}\$\,26.160{,}00.
    O que o enunciado pede: determinar o valor total do empréstimo (ou seja, o capital inicial P).

Passo 2

Explicando o sistema SAC (amortização constante) de forma didática e passo a passo.
  • No SAC a parcela de amortização é constante em todas as prestações. Se o capital inicial for P e o número de parcelas for n, a amortização constante é
A=\frac{P}{n},
onde A é a parte do principal paga em cada parcela. Aqui n=5, então A=\dfrac{P}{5}.
  • Em cada parcela paga há dois componentes: a amortização A e os juros sobre o saldo devedor antes do pagamento. Os juros do período k são calculados sobre o saldo imediatamente antes do pagamento k.

Passo 3

Expressando o saldo devedor antes da k-ésima parcela.
  • Depois de pagas as primeiras (k-1) amortizações, o saldo devedor imediatamente antes da k-ésima parcela é
S_{k-1}=P-(k-1)A.
Isso porque a cada parcela paga já se abatidos (k-1) parcelas de amortização do capital inicial.
  • Os juros cobrados na k-ésima parcela são i vezes esse saldo:
J_k=i\cdot S_{k-1}=i\bigl(P-(k-1)A\bigr).

Passo 4

Fórmula da k-ésima prestação no SAC e interpretação das variáveis.
  • A prestação (parcela) k é a soma da amortização A com os juros J_k:
P_k = A + J_k = A + i\bigl(P-(k-1)A\bigr).
Aqui:
  • P_k é o valor da k-ésima parcela;
  • A=\dfrac{P}{n} é a amortização constante;
  • i é a taxa de juros por período;
  • P é o capital inicial (o que queremos achar);
  • k é o índice da parcela (no nosso caso k=3).

Passo 5

Aplicando a fórmula para a terceira parcela ( k=3), com n=5 e i=0{,}03.
  • Primeiro escrevo A=\dfrac{P}{5}.
  • Substituo em P_3 = A + i\bigl(P-(3-1)A\bigr):
P_3 = \frac{P}{5} + 0{,}03\Bigl(P-2\cdot\frac{P}{5}\Bigr).
  • Simplifico passo a passo:
P-2\cdot\frac{P}{5}=P\Bigl(1-\frac{2}{5}\Bigr)=P\cdot\frac{3}{5}.
Logo
P_3=\frac{P}{5}+0{,}03\cdot\frac{3P}{5}=\frac{P}{5}\Bigl(1+0{,}03\cdot 3\Bigr).
  • Como 0{,}03\cdot 3=0{,}09, obtemos
P_3=\frac{P}{5}\cdot 1{,}09.

Passo 6

Usando o valor numérico da terceira parcela para encontrar P.
  • Sabemos que P_3=\mathrm{R}\$\,26.160{,}00. Então
\frac{P}{5}\cdot 1{,}09 = 26.160.
  • Isolando P:
P = \frac{26.160\cdot 5}{1{,}09}.
  • Faço as contas de cabeça/à mão: 26.160\cdot 5=130.800. Agora divido por 1{,}09. Observando que 1{,}09\cdot 120.000 = 130.800, segue que
P=120.000.

Passo 7

Verificação rápida (checar se bate):
  • Amortização A=\dfrac{P}{5}=\dfrac{120.000}{5}=24.000.
  • Saldo antes da 3ª parcela: S_{2}=P-2A=120.000-48.000=72.000.
  • Juros na 3ª parcela: 0{,}03\cdot72.000=2.160.
  • Parcela 3: A+ \text{juros}=24.000+2.160=26.160, que é exatamente o valor dado. Portanto cálculo consistente.

Resposta

A) 120.000{,}00

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