Discuta se é possível encontrar um valor para a constante C de modo que a função seja contínua em (-infty,+infty).
f(x)=cl|x-1| & , x<-1 C & , x=-1 |1-x| & , x>-1

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida por partes e a pergunta é saber se dá para encontrar um valor para a constante C que faça a função ser contínua em todos os números reais, ou seja, em (-infty, +infty) . Aqui, o conteúdo envolve continuidade de funções e como garantir que não haja “saltos” na função em pontos específicos. Vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se a função não tem descontinuidades nos pontos críticos, especialmente em x = -1 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em x = a se o limite da função quando x se aproxima de a é igual ao valor da função em a , ou seja:
limx to a f(x) = f(a)
No nosso caso, precisamos garantir que a função seja contínua em todo o domínio, especialmente no ponto x = -1 , porque é onde a definição da função muda.

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de -1 pela esquerda ( x to -1^- ) e pela direita ( x to -1^+ ).
Para x < -1 :
f(x) = |x - 1|
Vamos calcular limx to -1^- |x - 1| :
Substituindo x = -1 :
|-1 - 1| = |-2| = 2
Então,
limx to -1^- f(x) = 2

Passo 4

Para x > -1 :
f(x) = |1 - x|
Vamos calcular limx to -1^+ |1 - x| :
Substituindo x = -1 :
|1 - (-1)| = |2| = 2
Então,
limx to -1^+ f(x) = 2

Passo 5

Agora, como a função deve ser contínua em x = -1 , o valor da função nesse ponto ( f(-1) = C ) deve ser igual ao limite da função quando x se aproxima de -1 de qualquer lado. Já vimos que:
limx to -1^- f(x) = 2
limx to -1^+ f(x) = 2
Então, para que f(x) seja contínua em x = -1 :
f(-1) = C = 2

Resposta

Sim, o valor de C que torna a função contínua em (-infty, +infty) é C = 2 .

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