6^a Questão: Resolva o problema de valor inicial.
x+y e^-x d yd x=0 y(0)=1

Passo 1

Temos a equação
x + y e^-x dydx = 0
com condição inicial y(0)=1. É uma EDO de primeira ordem que podemos resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por e^x para simplificar o termo com dy/dx. Assim,
e^xl(x + y e^-x dydxr) = 0
que dá
y dydx = -x e^x

Passo 3

Separamos as variáveis, colocando y de um lado e x de outro:
y,dy = -x e^x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral y,dy = -integral x e^x dx
No lado esquerdo fica y^2/2. No direito usamos integral x e^x dx = (x-1)e^x + C, resultando em
y^22 = -l[(x-1)e^xr] + C
Multiplicando por 2, obtemos
y^2 = -2(x-1)e^x + C'

Passo 5

Usando a condição inicial y(0)=1:
1^2 = -2(0-1)e^0 + C' implies 1 = 2 + C' implies C' = -1
Logo
y^2 = -2(x-1)e^x -1 = 2e^x(1-x) -1
Como y(0)>0, escolhemos o ramo positivo da raiz.

Passo 6

Isolando y e escolhendo o sinal apropriado, chegamos a
y(x) = raiz2e^x(1-x) - 1

Resposta

y(x) = raiz2e^x(1-x) - 1

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