Verifique, usando o teste indicado, para quais valores de x as séries são convergentes. Dica: imponha a condição de convergência
sumk=0^infty|x-2|^k, (T. Razão)

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos determinar para quais valores de x a série
sumk=0^infty|x-2|^k
é convergente. O conteúdo é séries de potências (aqui uma série geométrica em |x-2|) e vamos usar o teste da razão para impor a condição de convergência.

Passo 2

Aplicando o teste da razão à série sumk=0^infty|x-2|^k, calculamos
L ;=;limktoinfty|x-2|^k+1|x-2|^k ;=;limktoinfty|x-2| ;=;|x-2|
Pelo teste da razão, a série converge se e somente se L<1.

Passo 3

Impondo a condição L<1, obtemos
|x-2|<1
Isto equivale à dupla desigualdade
-1< x-2<1 Longrightarrow 1< x<3

Passo 4

Verificação nos extremos:
  • Se x=1, então |x-2|=1 e a série vira sum1^k, que diverge.
  • Se x=3, idem, sum1^k diverge.
    Logo, os extremos não pertencem ao conjunto de convergência.

Resposta

A série sumk=0^infty|x-2|^k converge somente para
1< x<3

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