Discuta e resolva os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{array}{c}m x+y-z=4 \\\ x+m y+z=0 \\\ x-y=2\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para discutir e resolver o sistema linear com parâmetro m:
\begin{cases} m x + y - z = 4,\\\ x + m y + z = 0,\\\ x - y = 2. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares dependendo de um parâmetro, usando determinantes (Regra de Cramer) para identificar quando há solução única, nenhuma ou infinitas soluções.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
\Delta = \begin{vmatrix} m & 1 & -1\\\\ 1 & m & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo por cofactores na terceira linha obtemos
\Delta = 1\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ m & 1\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}m & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = (1+m)+(m+1)=2(m+1).

Passo 3

Da expressão \Delta=2(m+1) concluímos:
  • Se m\neq -1, então \Delta\neq 0 e o sistema tem solução única.
  • Se m=-1, então \Delta=0 e pode ocorrer ou nenhuma solução ou infinitas soluções; precisamos checar consistência.

Passo 4

Para m\neq -1 usamos Cramer. Calculamos os determinantes \Delta_x, \Delta_y e \Delta_z:
\Delta_x = \begin{vmatrix} 4 & 1 & -1\\\\ 0 & m & 1\\\\ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix} =2(m+3), \quad \Delta_y = \begin{vmatrix} m & 4 & -1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} =2(1-m),
\Delta_z = \begin{vmatrix} m & 1 & 4\\\\ 1 & m & 0\\\\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} =2(m-3)(m+1).
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x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{2(m+3)}{2(m+1)}=\frac{m+3}{m+1},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{2(1-m)}{2(m+1)}=\frac{1-m}{m+1},\quad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{2(m-3)(m+1)}{2(m+1)}=m-3.

Passo 5

Para m=-1\) o sistema fica \[\begin{cases} -\,x+y-z=4,\\\ x-y+z=0,\\\ x-y=2. \end{cases}
As duas primeiras equações são incompatíveis -x+y-z=4\] implica \(x-y+z=-4, mas a segunda exige x-y+z=0, logo não há solução.

Resposta

Para m\neq -1 o sistema tem solução única
x=\frac{m+3}{m+1},\quad y=\frac{1-m}{m+1},\quad z=m-3.
Para m=-1 o sistema é inconsistente e não admite solução.

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