Resolva o sistema: \left\{\begin{array}{clc}2^{x} 2^{y} 2^{z} & = & 8 \\\\ 3^{x} 3^{z} & = & 3^{9} 9^{y} \\\\ 125.5^{x} & = & 5^{y}\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações exponenciais\r
\begin{cases} 2^{x}\,2^{y}\,2^{z}=8,\\\\ 3^{x}\,3^{z}=3^{9}\,9^{y},\\\\ 125\cdot 5^{x}=5^{y}, \end{cases}\r
ou seja, vamos usar propriedades de potências (soma de expoentes, mudança de base) para transformar tudo em equações lineares em x,y,z.

Passo 2

Na primeira equação usamos que 2^{x}2^{y}2^{z}=2^{x+y+z} e 8=2^{3}. Logo,\r
2^{x+y+z}=2^{3} \quad\Longrightarrow\quad x+y+z=3.

Passo 3

Na segunda equação escrevemos 9^{y}=(3^{2})^{y}=3^{2y}. Então\r
3^{x}\,3^{z}=3^{x+z}, \quad 3^{9}\,9^{y}=3^{9}\,3^{2y}=3^{9+2y},\r
de onde\r
3^{x+z}=3^{9+2y} \quad\Longrightarrow\quad x+z=9+2y.

Passo 4

Na terceira equação usamos 125=5^{3}, então\r
125\cdot5^{x}=5^{3}\cdot5^{x}=5^{x+3}.\r
Como isso deve ser igual a 5^{y}, obtemos\r
5^{x+3}=5^{y} \quad\Longrightarrow\quad y=x+3.

Passo 5

Agora temos o sistema linear\r
\begin{cases} x+y+z=3,\\\ x+z=9+2y,\\\ y=x+3. \end{cases}\r
Substituindo y=x+3 na segunda equação: \r
x+z=9+2(x+3)=2x+15 \quad\Longrightarrow\quad z=2x+15 - x = x+15.\r
Depois, na primeira equação:\r
x + (x+3) + (x+15) = 3 \quad\Longrightarrow\quad 3x +18 =3 \quad\Longrightarrow\quad 3x=-15 \quad\Longrightarrow\quad x=-5.\r
Então \r
y = x+3 = -5+3 = -2, \quad z = x+15 = -5+15 = 10.

Resposta

(x,y,z)=(-5,\,-2,\,10).

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