Verifique se os sistemas abaixo são normais:
(a) \left\{\begin{array}{c}x+y+z=1 \\\\ 2 x+3 y+2 z=5 \\\ x-y+2 z=-4\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\\ 2x + 3y + 2z = 5,\\\ x - y + 2z = -4, \end{cases}
e pede para verificar se esse sistema é normal. Em termos de teoria de matrizes, isso equivale a verificar se a matriz de coeficientes é normal, ou seja, se ela comuta com sua transposta.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}, onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & 2\\\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1\\\ 5\\\ -4\end{pmatrix}.

Passo 3

Recordamos que uma matriz real A é dita normal se
A\,A^T \;=\; A^T\,A.
Logo, precisamos calcular A^T, A\,A^T e A^T\,A.

Passo 4

A transposta de A é
A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 3 & -1\\\\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calculamos primeiro A\,A^T:
A\,A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & 2\\\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 3 & -1\\\\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 2\\\\ 7 & 17 & 3\\\\ 2 & 3 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora calculamos A^T\,A:
A^T\,A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 3 & -1\\\\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & 2\\\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 7\\\\ 6 & 11 & 5\\\\ 7 & 5 & 9 \end{pmatrix}.

Passo 7

Observamos que
A\,A^T = \begin{pmatrix}3&7&2\\\ 7&17&3\\\ 2&3&6\end{pmatrix} \quad\neq\quad \begin{pmatrix}6&6&7\\\ 6&11&5\\\ 7&5&9\end{pmatrix} = A^T\,A.
Como A\,A^T\neq A^T\,A, a matriz A não é normal, e portanto o sistema não é normal.

Resposta

O sistema não é normal.

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