Discuta e resolva o sistema de equações lineares em função do parâmetro m, exibindo as soluções caso existam.
l4 x+y+m z=-5 -2 x+y-z=m m x+y=-2

Passo 1

O enunciado pede para discutir e resolver o sistema linear em função do parâmetro m:
4x + y + m z = -5, -2x + y - z = m, m x + y = -2
O conteúdo envolvido é teoria de sistemas lineares dependentes de parâmetro, usando determinante da matriz dos coeficientes para identificar existência de solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, e em seguida resolver por eliminação.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
Usando expansão pela primeira linha:
Calculando cada menor:
Logo,

Passo 3

Da expressão det(A)=-(m+4)(m-1) concluímos:
  • Se mneq1 e mneq-4, então det(A)neq0 e o sistema tem solução única.
  • Se m=1 ou m=-4, então det(A)=0 e o sistema pode ter infinitas soluções ou ser incompatível.

Passo 4

Caso
Substituindo em
obtemos o sistema em (x,z]. Após eliminação encontra-se

Passo 5

Caso
Da terceira equação , sem gerar contradição. Há, portanto, infinitas soluções parametricamente:

Passo 6

Caso
Da terceira equação (y=4x-2]. Substituindo nas duas primeiras obtém-se, após comparação, a contradição

o que torna o sistema incompatível. Não há solução.

Resposta

Para o sistema
4x + y + m z = -5, -2x + y - z = m, m x + y = -2,
temos
(a) Se mneq1 e mneq-4 (determinante diferente de zero), solução única:
x = -m+3m+4, y = m^2 + m -8m+4, z = -m+2m+4
(b) Se m=1, infinitas soluções:
(x,y,z) = l(t,,-2-t,,-3-3tr), tinR
(c) Se m=-4, o sistema é incompatível (não há solução).

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