Discuta e resolva o sistema de equações lineares em função do parâmetro , exibindo as soluções caso existam.
Passo 1
O enunciado pede para discutir e resolver o sistema linear em função do parâmetro m:
4x + y + m z = -5, -2x + y - z = m, m x + y = -2
O conteúdo envolvido é teoria de sistemas lineares dependentes de parâmetro, usando determinante da matriz dos coeficientes para identificar existência de solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, e em seguida resolver por eliminação.
Passo 2
Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
Usando expansão pela primeira linha:
Calculando cada menor:
Logo,
Passo 3
Da expressão det(A)=-(m+4)(m-1) concluímos:
Se mneq1 e mneq-4, então det(A)neq0 e o sistema tem solução única.
Se m=1 ou m=-4, então det(A)=0 e o sistema pode ter infinitas soluções ou ser incompatível.
Passo 4
Caso
Substituindo em
obtemos o sistema em (x,z]. Após eliminação encontra-se
Passo 5
Caso
Da terceira equação , sem gerar contradição. Há, portanto, infinitas soluções parametricamente:
Passo 6
Caso
Da terceira equação (y=4x-2]. Substituindo nas duas primeiras obtém-se, após comparação, a contradição
o que torna o sistema incompatível. Não há solução.
Resposta
Para o sistema
4x + y + m z = -5, -2x + y - z = m, m x + y = -2,
temos
(a) Se mneq1 e mneq-4 (determinante diferente de zero), solução única:
x = -m+3m+4, y = m^2 + m -8m+4, z = -m+2m+4
(b) Se m=1, infinitas soluções:
(x,y,z) = l(t,,-2-t,,-3-3tr), tinR
(c) Se m=-4, o sistema é incompatível (não há solução).