Seja V1=(x, y, z) mid R^3 / x+y=0. Mostre que V1 é um subespaço de R^3.
Qual é a dimensão deste subespaço?

Passo 1

O enunciado define
V1=(x,y,z)in R^3mid x+y=0.
Queremos mostrar que V1 é subespaço vetorial de R^3 e determinar a sua dimensão. Para isso, vamos usar o fato de que o núcleo (kernel) de um mapa linear é sempre um subespaço, e depois encontraremos uma base explícita para computar a dimensão.

Passo 2

Defina a aplicação
f:R^3to R, f(x,y,z)=x+y
É imediato verificar que f é linear, pois para quaisquer (x1,y1,z1), (x2,y2,z2)in R^3 e qualquer escalar lambdainR vale
f((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) = f(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2) = (x1+x2) + (y1+y2) = f(x1,y1,z1) + f(x2,y2,z2),
fl(lambda,(x1,y1,z1)r) = f(lambda x1,,lambda y1,,lambda z1) = lambda x1 + lambda y1 = lambda,f(x1,y1,z1)
Além disso,
ker(f) = (x,y,z)mid f(x,y,z)=0 = (x,y,z)mid x+y=0 = V1

Passo 3

Como todo núcleo de aplicação linear é subespaço vetorial, concluímos que V1=ker(f) é de fato um subespaço de R^3.

Passo 4

Para encontrar a dimensão de V1, parametrizamos os vetores que satisfazem x+y=0. Da condição x+y=0 vem x=-y, logo um vetor genérico de V1 pode ser escrito como
(x,y,z)=(-y,y,z) = y,(-1,1,0) ;+; z,(0,0,1)
Isso mostra que os vetores
v1=(-1,1,0), v2=(0,0,1)
geram V1. Como v1 e v2 são linearmente independentes, eles formam uma base de V1.

Passo 5

Uma vez que v1,v2 é base de V1, temos
dim(V1) = 2

Resposta

V1 é subespaço de R^3 e dim(V1)=2.

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