Seja
. Mostre que
é um subespaço de
.
Qual é a dimensão deste subespaço?
Qual é a dimensão deste subespaço?
Passo 1
O enunciado define
.
Queremos mostrar que é subespaço vetorial de
e determinar a sua dimensão. Para isso, vamos usar o fato de que o núcleo (kernel) de um mapa linear é sempre um subespaço, e depois encontraremos uma base explícita para computar a dimensão.
Queremos mostrar que
Passo 2
Defina a aplicação
É imediato verificar que
é linear, pois para quaisquer
e qualquer escalar
vale
Além disso,
Passo 3
Como todo núcleo de aplicação linear é subespaço vetorial, concluímos que
é de fato um subespaço de
.
Passo 4
Para encontrar a dimensão de
, parametrizamos os vetores que satisfazem
. Da condição
vem
, logo um vetor genérico de
pode ser escrito como
Isso mostra que os vetores
geram
. Como
e
são linearmente independentes, eles formam uma base de
.
Passo 5
Uma vez que
é base de
, temos